Consecutivamente La Adición De Sines

Question

Una cosa, yo no soy un matemático, así que por favor sea paciente. Todavía estoy en Álgebra II Trigonometría. Líder con que, ¿por qué

$$ x_0 = \pecado 1, espacio \ x_1 = x_0 + \sin x_0, espacio \x_2 = x_1 + \sin x_1, ... $$ y después de un tiempo, $$ x = \pi $$

Sé que esto es cierto porque me han evaluado esta en mi TI-84 y más profundamente evaluado con este programa que yo hice: https://repl.it/@RobertoBean/Pi-Evaluator A $100000$ Iteraciones (que creo que es suficiente)

Entonces, ¿qué es la matemática detrás de ella? ¿Por qué la adición de $\sin 1$ de esta manera producir $\pi$? ¿Por qué no hacer lo mismo con $100$ producción $\pi$? Por ejemplo, $$\sin(1) = 0.841470...,\space \sin(1) + \sin(0.8414...), \sin(1) + \sin(0.841470...) + \sin(1.587095126...),\space ... $$ $$ = \pi$$

Mi pregunta es distinto de los mencionados, porque mi función no está tomando el pecado de un pecado de manera consecutiva, pero esta función siguiente: $f(x) = x + \sin x$ e no es $f(x) = \sin x$ y por lo tanto puede presentar diferentes propiedades necesito explicó.

Answer 1

Así que la secuencia es $$ \begin{cases} x_{0} = c & \\ x_{n} = x_{n - 1} + \sin (x_{n - 1} ) & \end{casos} $$

y esto es lo que va a suceder.

El dibujo muestra que para $0< x_0 < 2\pi$ la recurrencia llevará a $\pi$,
para $2\pi< x_0 < 4\pi$ va a llevar a $3\pi$, etc.

Eso significa que, de entre todas las soluciones de $x=n\pi$$x=x+\sin(x)$, el atractor puntos son los que están en $(2n+1)\pi$, mientras que el $2n\pi$ puntos son inestables.

Answer 2

Parece que el OP tiene un tiempo difícil la comprensión de las respuestas referidas a punto fijo de iteraciones - yo también. Aquí va una más intuitiva y práctica manera de visualizar lo OP fórmula está haciendo es por el uso de la longitud de arco de los arcos en el círculo unidad.

Su ángulo medido en radianes es igual a la longitud de arco de un segmento de ese ángulo - vamos a llamar a $ø$.

$sin(ø)$ le da la coordenada (distancia desde el eje x) de la final de ese arco con centro en el origen.

En el siguiente paso va a crear un nuevo arco por el alargamiento de su arco por $sin(ø)$ y, a continuación, medir la distancia desde el eje x para el final de su nuevo arco y sigues repitiendo este procedimiento.

La distancia medida desde el eje x va a ser siempre menor que la longitud necesaria para alargar su arco a$π$, pero sigue acercando más y más.

La siguiente ilustración explica gráficamente y también es fácil ver por qué converge rápidamente, así:

Editar:

La longitud del arco de el resto de el círculo de la mitad no están cubiertos por su arco es $π-ø$. Por la inspección, usted puede probar que $sin(ø)$ siempre será menor que la longitud de arco (excepto cuando se $ø=π$), por lo tanto, continuamente añadiendo $sin(ø)$ y el ajuste ø a este nuevo valor no podrá exceder $π$.

Del mismo modo se puede ver que para cualquier valor menor que $π$, el resultado va a aumentar, hasta llegar a pi (lo que ocurrirá en el infinito).

Answer 3

Usted es iterar la función $$f(x)= x+ \sin(x).$$

Cuando se itera una función y la función tiene un punto fijo, que pasa a ser un atractor, la secuencia de la recorre los enfoques que atractor.

En el caso de $$f(x) = x+\sin(x)$$ the fixed point is found by $f(x)=x$ which is $$x+\sin(x)=x$$

Por lo tanto $\sin(x)=0$, lo que implica $x=\pi$ es el atractor.