Cómo determinar el tipo de singularidades

Question

Tengo las siguientes funciones:

a) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{1}{e^{\frac{1}{z}}-1}$

b) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0,2\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{\sin z ^2}{z^2(z-2)}$

c) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\cos\left(\frac{1}{z}\right)$

d) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{1}{1-\cos\left(\frac{1}{z}\right)}$

e) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{1}{\sin\left(\frac{1}{z}\right)}$

¿Cuál sería el más rápido enfoque para determinar si $f$ tiene una singularidad removible, un polo o una singularidad esencial? ¿Cuál sería el pensamiento de $behind$ el enfoque?

Editar:

Lo que yo sé, Lo que he intentado:

Sé que si tenemos un conjunto abierto $\Omega \subseteq \mathbb{C}$, entonces llamamos a un aislado de singularidad, un punto, en el $f$ no es analítica en $\Omega$ ($f \in H(\Omega \backslash \{a\}$).

Las funciones en (a)-(e) no están definidos en algunos valores. Así que sospecho, que estos son los primeros candidatos para las singularidades. Por ejemplo, en (a), sería 0. En (b), sería 0 y 2.

Pregunta: ¿Podría ser cualquier otro de los puntos donde estas funciones no están analítica?

Vamos a llamar a nuestra aislado singularidad $a$. Además yo sé que tenemos 3 tipos de singularidades:

1) extraíble

Este sería el caso cuando se $f$ es limitado en el disco $D(a,r)$ algunos $r>0$.

2) polo

No es$c_1, ... , c_m \in \mathbb{C},\ m\in\mathbb{N}$$c_m \neq 0$, por lo que:

$$f(z)-\sum\limits_{k=1}^m c_k\cdot\frac{1}{(z-a)^k},\ z \in \Omega \backslash \{a\})$$

tiene una singularidad removible en $a$, entonces llamamos a $a$ a un poste.

También sabemos que, en este caso:

$|f(z)|\rightarrow \infty$ al $z\rightarrow a$.

3) esencial

Si el disco de $D(a,r) \subseteq \Omega$, $f(D(a,r)\backslash\{a\})$ es denso en $\mathbb{C}$ y llamamos a $a$ esencial de la singularidad.

Los libros que he estado usando (Zill - Análisis Complejo y Murray Spiegel - Análisis Complejo) expandir tanto la función como una Laurent de la serie y, a continuación, comprobar las singularidades. Pero, ¿cómo puedo hacer esto, si puedo usar las definiciones de arriba? No me parece que sea tan recta hacia adelante...

Lo que me gustaría aprender un método que me permite hacer lo siguiente:

Miro a la función y el trato de enfoque X para determinar si tiene una singularidad removible. Si no continuar con el enfoque Y a ver si tenemos un polo y si no Z, a ver si tenemos una singularidad esencial. Un algoritmo conjunto de pasos por así decirlo, a la verificación de tales funciones, como se presenta en (a) a (e).

Edit 2: Esto no es tarea y me gustaría empezar una recompensa si yo puedo, porque tengo que entender cómo funciona esto por tommorow. Lamentablemente puedo iniciar una recompensa sólo tommorow...

Edit 3: ¿Es tan fácil? Porque el uso de las definiciones, estoy llegando a ninguna parte en la determinación de los tipos de singularidades...

Answer 1

a) $\displaystyle{f(z)=\dfrac{1}{e^{1/z}-1}}$.

Dice $f:\mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C$, pero esto es incorrecto, porque $f$ tiene una simple poste de $z=\dfrac{1}{2\pi ki}$ por cada número entero distinto de cero $k$, e $z=0$ no es ni siquiera una singularidad aislada. Si cambia el codominio a $\mathbb C\cup\{\infty\}$ y creo que de $f$ como una función de meromorphic, entonces tiene una singularidad esencial en a $0$.

De hecho, se puede demostrar que los $f(D(0,r)\setminus\{0\})=(\mathbb C\cup\{\infty\})\setminus\{0,-1\}$ todos los $r>0$, el uso de primaria propiedades de la función exponencial.

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b) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0,2\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{\sin z ^2}{z^2(z-2)}$

Evaluar $\lim\limits_{z\to 0}f(z)$$\lim\limits_{z\to 2}f(z)$. Uno es finito, la otra es $\infty$, por lo que tiene una singularidad removible y un polo.

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c) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\cos\left(\frac{1}{z}\right)$

En este caso, usted debería ser capaz de demostrar, aunque sólo el uso de variables reales, que $\lim\limits_{z\to 0}f(z)$ no existe en un número finito o infinito de sentido. Bosquejo de una gráfica de $y=\cos(1/t)$ cerca de $0$. Otra herramienta útil es la de la serie de Laurent, que en este caso se obtiene a partir de la energía de expansión de la serie de $\cos$ por sustitución de $1/z$. Y de manera similar a una), podría usar primaria propiedades de la función exponencial, junto con la identidad de $\cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$ encontrar la imagen de un pequeño disco perforado en $0$.

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d) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{1}{1-\cos\left(\frac{1}{z}\right)}$

De manera similar a una), esto es incorrecto. El dominio o el codominio debe ser cambiado. Si no cambia el codominio, a continuación, $f$ es indefinido donde $\cos(1/z)=1$, y no hay una singularidad aislada en $0$. Si usted permite que meromorphic funciones, entonces es una singularidad esencial en a $0$. (Y otra vez usted podría incluso explícitamente encontrar el rango, o podría simplemente mostrar que no hay ningún límite existe por la elección de valores especiales.)

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e) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{1}{\sin\left(\frac{1}{z}\right)}$

Vea a) y d).

Answer 2

Gracias por todos sus comentarios. He decidido simplificar las cosas y usar el método de Schaum del Esquema en el Análisis Complejo. De lo contrario, estoy llegando a ninguna parte.

Se hace así:

(i) Si $\lim_{z\rightarrow a} f(z)$ existe entonces tenemos una eliminación de la singularidad.

(ii) Si $\lim_{z\rightarrow a} (z-a)^n f(z) = A \neq 0$, $z=a$ es un polo de orden $n$.

Si no tenemos (i) o (ii), luego de que la singularidad es esencial.

Pregunta: ¿por Qué son estas 3 opciones, los únicos aislados singularidades? Una breve explicación en palabras sería bueno!

Así, el uso de este tenemos:

a) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{1}{e^{\frac{1}{z}}-1}$

Debemos comprobar $\lim_{z\rightarrow 0} z^n \frac{1}{e^{\frac{1}{z}}-1}$

Tenemos $\lim_{z\rightarrow 0} z^n \frac{1}{e^{\frac{1}{z}}-1}=0$ para cualquier número natural $n$.

Así, esto significa que 0 es una singularidad esencial aquí.

b) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0,2\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{\sin z ^2}{z^2(z-2)}$

$\lim_{z\rightarrow 0} z^n \frac{\sin z ^2}{z^2(z-2)}=0$

$\lim_{z\rightarrow 2} z^n \frac{\sin z ^2}{z^2(z-2)}=-\infty$

Así, tenemos de nuevo esenciales singularidades, creo...

c) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\cos\left(\frac{1}{z}\right)$

$\lim_{z\rightarrow 0} z^n \cos\left(\frac{1}{z}\right)=0$

Uhem... esenciales de nuevo...

d) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0,\frac{1}{2k\pi}\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{1}{1-\cos\left(\frac{1}{z}\right)}$

$\lim_{z\rightarrow 0} z^n \frac{1}{1-\cos\left(\frac{1}{z}\right)}$

0 es impar aquí... podría ser que 0 no es la singularidad?

Para $2k\pi,\ k\neq 0$, el límite puede ser evaluado para algo. Creo que estos valores son los polos de entonces. Creo que tenemos $n$ de ellos.

e) $\displaystyle f:\mathbb{C}\backslash\{0,\frac{1}{k\pi}\}\rightarrow\mathbb{C},\ f(z)=\frac{1}{\sin\left(\frac{1}{z}\right)}$

$\lim_{z\rightarrow 0} z^n\frac{1}{\sin\left(\frac{1}{z}\right)}$

Mismo como d, 0 no es la singularidad?

Para $n = 1$, el límite es de $1$. Por lo tanto, tenemos un polo de orden $1$$z=0$.

¿Está usted de acuerdo con el de arriba?