Es correcto que su límite como subconjunto de \mathbb R^3 es en sí mismo. Sin embargo, hay otro significado de la palabra "límite" que está siendo utilizado por todas las personas de las que escuchas hablar. Como una superficie bidimensional, cada punto en la esfera tiene un vecindario que "se parece" a un disco abierto. Un punto límite de una superficie sería un punto donde todos los vecindarios tienen un "borde".
Es cierto que tienes que pensar en los vecindarios dentro de la esfera misma. Esto no está tan alejado de nuestra experiencia cotidiana. Después de todo, cuando piensas en el vecindario en el que vives, podrías pensar en hogares dentro de un radio "horizontal" de un cuarto de milla, pero probablemente no estés pensando en el aire a un cuarto de milla sobre tu cabeza o en la roca a un cuarto de milla bajo el nivel del suelo. Los vecindarios dentro de la esfera misma son análogos a los vecindarios tal como los verías en un mapa, no como bolas que sobresalen por encima y por debajo de la superficie de la esfera.
Si S es la esfera, una forma de definir los conjuntos abiertos de S en relación con S es usando la topología del subespacio (o la métrica restringida) de \mathbb R^3. Una "bola" abierta centrada en un punto x\in S tiene la forma \{y\in S:|x-y|. Nota la calificación adicional, "y\in S$".
Para contrastar, sea D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2\leq 1\} el disco unitario cerrado en el plano. Pensando en los vecindarios dentro de D, existen dos tipos diferentes de puntos. Aquellos puntos (x,y) tales que x^2+y^2<1 tienen vecindarios que lucen igual que los discos abiertos ordinarios en \mathbb R^2. Pero para un punto (x,y) con x^2+y^2=1, hay una asimetría donde todos los vecindarios tienen (x,y) en el "borde". El círculo unitario es el límite del disco como una superficie, que curiosamente también es el límite como un subconjunto del plano.
Por otro ejemplo, la mitad superior de la esfera, con el ecuador incluido, es una superficie cuyo límite (como una superficie) es el ecuador, mientras que el límite como un subconjunto de \mathbb R^3 sería todo el conjunto.
Cuando escuchas a las personas decir que la esfera está cerrada en este contexto, probablemente se refieran a superficies cerradas, que por definición son compactas y sin límite, donde el límite es una propiedad intrínseca de la superficie como se indicó anteriormente. (El artículo enlazado podría tener otra información útil para ti). Por supuesto, también es cierto que la esfera está cerrada como un subconjunto de \mathbb R^3.
