Ejercicio 8 del libro de análisis complejo de Conway en el capítulo de la función Zeta de Riemann

Question

Estoy estudiando el libro de Juan B. Conway Funciones de Una Variable Compleja(1978), y en la sección de Riemann Zeta Función del capítulo 7 no podía resolver el último ejercicio. Aquí está:

Deje $\zeta (z)$ ser la de Riemann zeta función, que es meromorphic en C con un simple polo en z = 1 y holomorphic en otros lugares, y establecer $$\eta(z)=\frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)}$$ for $\operatorname{Re} z > 1$.

Demostrar que para cualquier $z_0$ con $\operatorname{Re} z_0 \geq 1$ $\lim\limits_{z \to z_0}(z-z_0) \eta(z)=N$, donde $N \in \mathbb{Z}$.

Hay 3 más preguntas siguientes, esta es sólo la parte (a) pero yo no quería preguntar a todos ya que si lo comprendo, yo podría ser capaz de hacer el resto. Así que todas las sugerencias/ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Como$\zeta(z)$ es holomorfo en$\operatorname{Re}{z}>1$, se deduce que$$\zeta(z)=(z-z_0)^m(a_0+a_1(z-z_0)+\cdots) con$m\in\mathbb{Z}_{\geq0}$ y$a_0\neq0$.

Luego se sigue que \begin{align} \zeta'(z)&=m(z-z_0)^{m-1}(a_0+a_1(z-z_0)+\cdots)+(z-z_0)^m(a_1+\cdots)\\ &=(z-z_0)^{m-1}(ma_0+a_1(m+1)(z-z_0)+\cdots) \end {align}

Ahora calculamos el límite: \begin{align} \lim_{z\to z_0}(z-z_0)\eta(z)&=\lim_{z\to z_0}\frac{(z-z_0)^m(ma_0+a_1(m+1)(z-z_0)+\cdots)}{(z-z_0)^m(a_0+a_1(z-z_0)+\cdots)}\\ &=\lim_{z\to z_0}\frac{ma_0+a_1(m+1)(z-z_0)+\cdots}{a_0+a_1(z-z_0)+\cdots}=m \end {align}

Como$a_0\neq0$, este límite existe y es igual a un entero$m$.

Sin embargo, es la pregunta con qué frecuencia encuentras el caso donde$m\neq0$, porque eso implica un cero de la función zeta de Riemann con$\operatorname{Re}{z}>1$ ...