Por favor, ayúdenme a resolverlo: $$5.5^{2x}-6.5^x +1 = 0$$
Realmente no creo que sea posible en absoluto. Querían que lo hiciera sin calculadora.
Por cierto soy nuevo en el foro así que no se si he incumplido las normas.
Hay que comparar $f(x) = 5.5^{2x}$ con $g(x) = 6.5^x$ . $f$ puede transformarse en $f(x) = (5.5^2)^x$ .
Así que tenemos un caso de $a^x$ vs $b^x$ con $a > b$ y $a, b > 0$ .
Existe una solución si $a^x - b^x = -1$
Para $x > 0$ tenemos $$ a > b \Rightarrow a^x > b^x \Rightarrow a^x - b^x > 0 > -1 $$ por lo que no existe solución.
Para $x = 0$ tenemos $$ a^x - b^x = 1 - 1 = 0 > -1 $$ que tampoco es una solución.
Para $x < 0$ tenemos $$ a^x = a^{-\lvert x \rvert} = 1 / a^{\lvert x \rvert} \in (0, 1) $$ y $$ b^x \in (0, 1) $$ Para una solución $x$ necesitaríamos $$ b^x = a^x + 1 $$ lo que no es posible porque dos puntos cualesquiera $u, v \in (0,1)$ son una distancia $d < 1$ aparte.
Considere la función $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$$$ x\mapsto30.25^x-6.5^x+1 $$ Because $ \forall x\in\mathbb{R},\,5.5^{2x}=(5.5^2)^x=30.25^x $ your equation in $ \mathbb{R} $ is equivalent to the equation $ f(x)=0 $ in $ \mathbb{R}$.
Para simplificar, dejemos que $a=30.25$ y $b=6.5$ . Entonces $\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)=a^x-b^x+1$ . Esta función es diferenciable en $\mathbb{R}$ y tenemos $\forall x\in\mathbb{R},\,f'(x)=(\ln a)a^x-(\ln b)b^x$ .
Vamos a estudiar las variaciones de $f$ . Sea $x\in\mathbb{R}$ como $f'(x)=0$ . Así: $$(\ln a)a^x-(\ln b)b^x=0$$$$ (\ln a)a^x=(\ln b)b^x $$$$\ln\ln a +x\ln a=\ln\ln b+x\ln b$$$$ (\ln a-\ln b)x=\ln\ln b -\ln\ln a $$$$x=-\dfrac{\ln\ln a -\ln\ln b}{\ln a-\ln b}$$
Sea $x_0=-\dfrac{\ln\ln a -\ln\ln b}{\ln a-\ln b}$ En las igualdades anteriores, si se sustituye la relación $=$ por $>$ y $<$ ( $a>b\Rightarrow \ln a-\ln b>0$ ) se puede concluir que $f'$ es positivo en $(x_0,+\infty)$ negativo en $(-\infty,x_0)$ y $f'(x_0)=0$ . Así $f(x_0)$ es el valor mínimo de $f$ en $\mathbb{R}$ es decir $\forall x\in\mathbb{R},\,f(x)\ge f(x_0)$ . Utilizando una calculadora o un programa informático (personalmente he utilizado Maple), encontramos que $f(x_0)\approx0.7826480697$ . Por lo tanto su ecuación no tiene solución en $\mathbb{R}$ .
Estoy realmente en la cabeza, pero esta respuesta se ve muy, muy fresco. Espero que al final de mi curso de matemáticas, pueda descifrar la mitad de esto. Por cierto, ¡gracias a todos por responder :)!
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¿Estás seguro de que no es $6.5^{2x}-6.5^x +1 = 0$ o $5.5^{2x}-5.5^x +1 = 0$ ? Quizás $5·5^{2x}-6·5^x +1 = 0$ ? Estas tres son resolubles si se considera una ecuación de segundo grado en $5^x$ o alguna otra función exponencial de $x$ . Las soluciones de este último son $x=1$ y $x=0 $
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Ninguna de las anteriores, realmente dudo que esta pregunta sea posible... fue planteada como una pregunta de nivel A según mi amigo....
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Esto no tiene soluciones reales.