Superficies: comportamiento de los mapas pluricanónicos

Question

Dejemos que $S$ sea una superficie algebraica lisa (sobre $\Bbb{C}$ ).

Supongamos que tenemos algún tipo de fibrado $p\colon S\rightarrow C$ en una curva suave. Sea $f$ sea una fibra, una curva, digamos.

Dejemos que $K$ sea un divisor canónico en $S$ y asumir $K\cdot f=0$ . Mi pregunta es: ¿podemos concluir que cada $m$ -mapa canónico $\varphi_{mK}\colon S\rightarrow\Bbb{P}^N$ cuando se defina, se contraerá $f$ ¿hasta cierto punto?

Answer 1

Si $|mK|$ es libre de punto base y si $f$ es irreducible, entonces $\varphi_{mK}(f)$ es un punto.

En caso contrario, existe $x$ , $y\in f$ s.t. $\varphi_{mK}(x)\neq \varphi_{mK}(y)$ . Según la definición de $\varphi_{mK}$ es equivalente a decir que existe $s\in H^0(S,\mathcal{O}_S(mK))$ , de tal manera que $s(x)=0$ y $s(y)\neq 0$ .

Dejemos que $D:=div(s)$ entonces $D$ es un divisor efectivo, linealmente equivalente a $mK$ y satisfactorio $x\in \operatorname{Supp}(D)$ mientras que $y\notin \operatorname{Supp}(D)$ . Por lo tanto, $f$ no es un componente de $D$ (ya que $y\notin \operatorname{Supp}(D)$ ), por lo que $D\cdot f\geq 1$ (ya que $D$ , $f$ no tienen componentes en común y $x\in \operatorname{Supp}(D)\cap f$ ). Así que $mK\cdot f=D\cdot f\geq 1$ , obtenemos una contradicción.

Answer 2

Una forma de explicar por qué la respuesta es afirmativa utiliza la fórmula de proyección. Para nuestros fines, basta con la siguiente formulación: si $f: X \rightarrow Y$ es un morfismo entre variedades proyectivas lisas, $L$ es un haz de líneas en $Y$ y $C$ es una curva en $X$ entonces $$f^*L \cdot C = L \cdot f_*C$$ (donde $f_*$ denota el avance de los ciclos, y $\cdot$ es la intersección de los ciclos).

Por definición del morfismo $\varphi_L: X \rightarrow \mathbf{P}^n$ asociado a un haz de líneas sin puntos de base en una variedad $X$ tenemos $\varphi_L^* \mathcal{O}(1) =L$ . Así que si $C$ es cualquier curva con $L \cdot C =0$ la fórmula de proyección da $(\varphi_L)_*C \cdot \mathcal{O}(1)=0$ . Pero $\mathcal{O}(1)$ tiene un grado estrictamente positivo en cualquier curva de $\mathbf{P}^n$ , por lo que el ciclo 1 $(\varphi_L)_*(C)$ debe ser cero: es decir, $C$ debe ser contratado por $\varphi$ .

Ahora sólo tienes que aplicar esto en tu caso con $L=mK$ . (Obsérvese que para cada número entero $m$ las condiciones $K \cdot C=0$ y $mK \cdot C=0$ son equivalentes).