La función de suma de cuadrados suele ser mayor que $(\log x)^{1/2 - \epsilon}$ ?

Question

Dejemos que $r_2(n)$ sea la función de suma de cuadrados, es decir, el número de pares diferentes $a,b\in \mathbb{Z}$ tal que $a^2 + b^2 = n$ . Dejemos que $R$ sea el conjunto de enteros representables, es decir, el subconjunto de $\mathbb{N}$ tal que $r_2(n) > 0$ .

Me gustaría saber si lo siguiente es cierto o no:

Fijar $0 < \epsilon < 1/2$ . Dada la gran $x$ Casi todos los $n \le x$ en $R$ satisfacer $r_2(n) \ge (\log x)^{1/2 - \epsilon}$ .

Si esto es duro/incorrecto, entonces también me conformaría con el siguiente hecho mucho más débil:

Existe una función $f(x)$ que va a $\infty$ cuando $x \to \infty$ de tal manera que casi todos los $n \le x$ en $R$ satisfacer $r_2(n) \ge f(x)$ .

Explicación del "casi todos":

Teorema de Landau dice que la cantidad de $n \in R$ , $n \le x$ es asintóticamente $\displaystyle \frac {bx}{\sqrt {\log x}}$ donde $b$ es La constante de Landau .

Por lo tanto, me gustaría saber si el número de excepciones a $r_2(n) \ge (\log x)^{1/2 - \epsilon}$ para $n\in R, n\le x$ es asintóticamente despreciable, es decir $\displaystyle o\left(\frac x {\sqrt \log x}\right)$ .

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Mis pensamientos sobre el problema:

Por La solución de Gauss al problema del círculo sabemos que $\displaystyle \sum_{n\le x} r_2(n) \sim \pi x$ . De esto y del teorema de Landau sabemos que el valor medio de $r_2(n)$ para $n \le x$ , $n \in R$ es $\frac \pi b \sqrt {\log x}$ . Así que este es el valor medio de $r_2(n)$ en $R, n\le x$ .

Aplicando una especie de "desigualdad de Markov" obtenemos el sentido inverso al deseado: Dejemos que $E(x)$ por el número de excepciones, es decir, el número de $n \le x$ , $n \in R$ tal que $r_2(n) > (\log x)^{1/2 + \epsilon}$ . Entonces $$\pi x \sim \sum_{n \le x} r_2(n) \ge E(x) (\log x)^{1/2 + \epsilon}$$ Esto significa que $$E(x) = o\left(\frac x {\sqrt {\log x}}\right)$$ lo que significa que casi todos los $n \le x$ , $n \in R$ satisfacer $r_2(n) \le (\log x)^{1/2 + \epsilon}$ .

Para la dirección que me interesa este enfoque no es suficiente y necesitamos una especie de "desigualdad de Chebyshev". Esto significa que queremos una especie de "segundo momento" de $r_2(n)$ . Lo encontré en esta pregunta de Math.StackExchange : $\sum_{n \le x} r_2(n)^2 \sim ax \log x$ donde $a$ es una constante. Desafortunadamente, esta asintótica es demasiado pobre, y cuando se intenta utilizar el método anterior en $\left|r_2(n) - \frac \pi b \sqrt{\log x}\right|$ el término de error aplasta el término principal y no obtenemos nada.

Answer 1

He pensado un poco más en esto, y creo que el orden típico real de $r_2(n)$ debe ser $(\log n)^{\log 2/2}$ . No tengo una prueba completa, pero déjame explicar mi pensamiento. Tenga en cuenta que todos los $\log$ en esta respuesta son la base $e$ .

Es más fácil considerar primero el número de formas de escribir $n = a^2+b^2$ con $a$ y $b$ relativamente primo. Sea $q_0(n)$ sea el número de tales formas de escribir $n$ , dejemos que $R_0$ sea el conjunto de $n$ que se puede escribir de esta manera. Sea $R_0(x)$ sea $\{ n \in R_0: \ n \leq x \}$ y que $\rho_0(x) = \#R_0(x)$ .

Recordemos que $n$ está en $R_0$ si y sólo si $n$ es de la forma $2^{(0 \ \mathrm{or}\ 1)} p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}$ donde todos los $p_i$ son $1 \bmod 4$ . Para $n$ de este formulario, $q_0(n) = 4 \cdot 2^{k}$ . Escribiremos $k$ como $k(n)$ cuando sea necesario para enfatizar que es una función de $n$ .

Me parece muy probable que para casi todos los $n \in R_0$ con $n \leq x$ tenemos $k(n) \approx (1/2) \log \log x$ . Más concretamente, imagino que para $\epsilon>0$ la proporción de $n \in R_0(x)$ con $\frac{1-\epsilon}{2} \log \log x < k(n) < \frac{1+\epsilon}{2} \log \log x$ se acerca a $1$ A continuación daré argumentos heurísticos para ello. Asumiendo esto, para casi todos los $n \in R_0$ con $n \leq x$ tenemos $$4 \cdot 2^{(1-\epsilon)/2 \log \log x} < q_0(n) < 4 \cdot 2^{(1+\epsilon)/2 \log \log x} .$$ Pero $$2^{(1/2) \log \log x} = (\log x)^{\log 2/2},$$ no $\sqrt{\log x}$ .

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Ahora bien, ¿qué ocurre cuando trabajamos con todas las sumas de cuadrados, no sólo con las relativamente primarias? Los detalles son más complicados, pero la conclusión es la misma. Utilizaremos $q(n)$ para el número de formas de escribir $n$ como una suma de cuadrados, $R$ para el conjunto de $n$ que se puede escribir como una suma de cuadrados, $R(x)$ para $\{ n \in R :\ n \leq x \}$ y $\rho(x)$ para $\# R(X)$ .

En primer lugar, debería ser fácil demostrar que una proporción positiva de $R$ se compone de enteros libres cuadrados. (La proporción debe ser $$\frac{3}{4} \prod_{p \equiv 1 \bmod 4} \left( 1- \frac{1}{p^2} \right) \prod_{p \equiv 3 \bmod 4} \left( 1- \frac{1}{p^2-p+1} \right),$$ porque estar en $R$ ya limita $n$ a uno de $p^2-p+1$ clases de residuo modulo $p^2$ cuando $p \equiv 3 \bmod 4$ .) Para estos elementos $n$ de $R$ tenemos $q_0(n) = q(n)$ . Así que eso ya debería dar una proporción positiva de $R$ donde $q(n)$ se comporta como $(\log n)^{\log 2/2}$ .

Sin embargo, afirmo que la situación es en realidad mucho más fuerte. Motivado por lo anterior, dejemos $\bar{R}$ sean los elementos libres de cuadrados de $R$ . Tenga en cuenta que $R = \bigcup_d d^2 \bar{R}$ y $q(n) = \sum_{d^2 | n} q_0(n/d^2)$ . Fijar un número entero muy grande $D$ y establecer $R_D = \bigcup_{d \leq D} d^2 \bar{R}$ . Como $D \to \infty$ la proporción de $R$ que está ocupado por $R_D$ debe acercarse $1$ . Sin embargo, para $n \in R_D$ tenemos $q(n) = \sum_{\substack{d \leq D \\ d^2 | n}} q_0(n/d^2)$ . Así que $q(n)$ debe ser como máximo $D (\log n)^{\log 2/2}$ . Esto sugiere que deberíamos ser capaces de mostrar, para cualquier $\epsilon$ que todos menos un $\epsilon$ proporción de la $n$ en $R(x)$ obedecer $q(n) < (\log n)^{\log2/2 +\epsilon}$ .

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Entonces, ¿por qué creo que $k(n)$ es típicamente $(1/2) \log \log x$ para $n \in R(x)$ (o en $R_0(x)$ )? En primer lugar, es el valor medio correcto. $$\sum_{n \in R(x)} k(n) = \sum_{n \in R(x)} \sum_{\substack{p \equiv 1 \bmod 4 \\ p|n}} 1 = \sum_{p \equiv 1 \bmod 4} \rho(x/p).$$ Landau da $\rho(x) \approx K x/\sqrt{\log x}$ Así que $\rho(x/p) \approx K (x/p)/\sqrt{\log x}$ . (El símbolo $\approx$ no tiene un significado preciso; le dejo a usted la elaboración del término de error exacto). Así pues, $$\sum_{p \equiv 1 \bmod 4} \rho(x/p) \approx \sum_{\substack{p \equiv 1 \bmod 4 \\ p \leq x}} K \frac{x}{p \sqrt{\log x}} = \frac{K x}{\sqrt{\log x}} \sum_{\substack{p \equiv 1 \bmod 4 \\ p \leq x}} \frac{1}{p} \approx \rho(x) \frac{\log \log x}{2}.$$ Aquí estamos usando algo como " Teorema de Merten en progresiones aritméticas". Así, el valor medio de $k(n)$ en $R(x)$ debe ser $\approx (\log \log x)/2$ . (No pretendo una prueba real, debido a los problemas que acechan en la interpretación de $\approx$ .)

Además, el mismo tipo de argumento sugiere que el valor medio de $k(n)^a$ debe ser $\left( \frac{\log \log x}{2} \right)^a$ .

Finalmente, Lucía en MO muestra (de forma no uniforme en $k$ ) que el número de $n$ en $R_0(x)$ con $k(n)=k$ es $$\sim \frac{x (\log \log x)^{k-1}}{2^{k-1} (k-1)! \log x }.$$ Se trata de una distribución de Poisson, con un pico en $(\log \log x)/2$ .

Answer 2

Hay una manera fácil de demostrar que se puede tomar $f(x)=(\log x)^{\frac{\log 2 }{2}}$ . Es decir, demostrar que $$ \sum_{ n\in R\cap [1,x] }\left (\omega(n) -\frac{\log \log x}{2}\right)^2 =o(x(\log x)^{-1/2} (\log \log x )^2 )$$ y después de hacerlo, probar lo mismo con $\omega$ sustituido por $\Omega$ . Demostrar cualquiera de estas dos desigualdades debería ser más o menos lo mismo que Turan-Kubilius. Así que estas dos significan que el orden normal de ambos $\omega $ y $\Omega $ con un promedio de $R$ es $\frac{\log \log n}{2}$ . Ahora utiliza el hecho de que si $n\in R$ entonces $2^{\omega(n) } \leq r_2(n) \leq 2^{\Omega(n)}$ . Esto demuestra que para $100\%$ de todos $n\in R$ , uno tiene $$ r_2(n) =2^{\frac{\log \log n}{2} (1+o(1) )}=(\log n)^{\frac{\log 2}{2} +o(1)} .$$