La suma de dos números primos es $999$ . ¿Cuál es su producto?

Question

Q. La suma de dos números primos es $999$ . ¿Cuál es su producto?

Sé que la respuesta es:

$997+2=999$ así que todo lo que tendrías que hacer es multiplicar $997$ y $2$

Mi pregunta es qué pasaría si hubiera otra pregunta como ésta pero los números primos estuvieran en el medio y no fueran tan obvios como los anteriores. En otras palabras, ¿cómo se abordaría este problema sin recurrir al método de ensayo y error?

Answer 1

En general, este problema no es trivial. Es tan no trivial que ni siquiera sabemos si es posible representar cada número entero par como una suma de dos primos. Esta es una de las conjeturas de Goldbach.

En este caso, hay un truco. La suma de sus dos primos es impar. Esto significa que uno de los primos es par, y el otro es impar. Pero el único primo par es $2$ .

Answer 2

La suma de dos números primos no puede ser un número impar a menos que uno sea par y el otro impar. Y sólo hay un número primo par.

Answer 3

SUGERENCIA:

Cualquier primo $>2$ es impar

Ahora impar $+$ impar $=$ incluso

Para la suma impar de dos enteros, los sumandos deben ser de paridad opuesta

Answer 4

En este caso, $999$ es un número impar, por lo que uno de los dos primos es $2$ . Ese argumento sirve para cualquier número impar. En el caso de un número par, creo que el único enfoque es la fuerza bruta, es decir, comprobar todas las descomposiciones hasta encontrar una.

Answer 5

Sólo un comentario para dejar claro lo que (normalmente) ocurre cuando un incluso se utiliza el número Supongamos que el problema dijera: "La suma de dos números primos es 998, ¿cuál es su producto?". Entonces usted podría tener:

7 + 991 = 998
31 + 967 = 998
61 + 937 = 998
79 + 919 = 998
139 + 859 = 998
211 + 787 = 998
229 + 769 = 998
241 + 757 = 998
271 + 727 = 998
307 + 691 = 998
337 + 661 = 998
367 + 631 = 998
379 + 619 = 998
397 + 601 = 998
421 + 577 = 998
457 + 541 = 998
499 + 499 = 998

Todas estas representaciones darán lugar (necesariamente) a productos diferentes. Así que no se podría resolver el problema, en general, para una suma par. (Se espera, pero no se ha demostrado, que cualquier número par mayor que 12 tendrá más de una solución).