Una función diferenciable e ilimitada con infinitos puntos críticos, todos ellos máximos locales.

Question

Estoy buscando una función $f: \Bbb R^2 \rightarrow \Bbb R$ que tiene las siguientes propiedades:

• Ambos $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ existen y son continuas en $\Bbb R^2$ .
• Hay infinitos puntos críticos* , en todos los cuales, $f$ tiene un máximo local.
• $f$ no tiene límites ni por arriba ni por abajo.

¿Podría darme algunas pistas, o incluso mejor, mostrarme explícitamente la función deseada?

* $(x,y)$ tal que $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$ .

Answer 1

NOTA . En este post considero las funciones que tienen sólo local mínimo en lugar de los máximos. Además, esto no es una solución rigurosa sino sólo una pista.

Hay un problema similar que pide encontrar una función de dos variables que no esté acotada por arriba y por abajo y que tenga un solo punto crítico que sea un mínimo local. He visto en algún sitio la solución de Tim Gowers, que es la siguiente receta.

Tomemos el gráfico de $f(x, y)=x$ y poner un dedo en él, en $(x, y)=(0,0)$ . Esto crea un mínimo local que no es global. Esto también crea un punto de silla de montar cerca del punto $(x, y)=(-1, 0)$ . Deslizar el dedo en el negativo $x$ dirección, el punto de la silla de montar se mueve en consecuencia. Pasando al límite, podemos hacer desaparecer el punto de silla de montar, como si se hubiera "movido al $x, y$ infinito". Hecho.

(Lamentablemente, no puedo encontrar la referencia precisa. Está en un comentario de algún blog, por lo que no está indexado por los buscadores, creo).

Se puede rehacer esta receta contablemente muchas veces, cada vez poniendo el dedo lejos de lo que ya se ha hecho. Esto producirá una función no limitada con un número contable de mínimos locales que no son globales, y no más puntos críticos.