¿Cuál es el propósito de calcular el valor propio de un PDE problema?

Question

Entiendo que los autovalores tienen su propósito en álgebra lineal (por ejemplo, métodos iterativos no convergen a menos que el módulo de la radio espectral es menor que o igual a uno). Pero cuando voy a resolver ecuaciones diferenciales parciales mediante un esquema de diferencias finitas, en general estoy más interesado en la solución, su estabilidad y su convergencia. ¿Qué idea puede adquirir desde la resolución de un autovalor problema desde el mismo PDE?

Decir, por ejemplo, el autovalor problema

$\nabla^2u=\lambda u$ $\Omega$
$u=0$ $\partial \Omega$

Sin un contexto para un problema físico, realiza la solución de este autovalor problema de proporcionar información sobre otros problemas relacionados, tales como

$\nabla^2u=0$ $\Omega$
$u=0$ $\partial \Omega$

o

$\nabla^2u=f$ $\Omega$
$u=0$ $\partial \Omega$ ?

Answer 1

La solución de un tiempo dependiente de la ecuación, como la ecuación del calor $$ u_t-\nabla^2u=0,\quad x\in\Omega,\quad t>0 $$ con la condición de límite $u(x,t)=0$ si $x\in\partial\Omega$, $t>0$, y la condición inicial $u(x,0)=u_0(x)$, $x\in\Omega$, por separación de variables (es decir, la búsqueda de soluciones de la forma $u(x,t)=T(t)X(x)$) conduce de manera natural al autovalor problema. La solución puede ser ampliado (bajo algunas condiciones en $\Omega$$U_0$) como $$ u(x,t)=\sum_{n}e^{-\lambda_nt}X_n(t), $$ donde $\lambda_n$ son los autovalores y $X_n$ de los asociados a funciones propias.

Answer 2

Para su pregunta específica, se observa que la $$ \nabla^2 u = 0 $$ es un caso especial de la ecuación $$ \nabla^2 u = \lambda u $$ con $\lambda = 0$. De modo que la comprensión que el autovalor problema de ciertos ayuda a la comprensión homogénea problema.

Para la no homogénea problema, formalmente si uno conoce todos los posibles valores propios $\lambda_k$ y las correspondientes funciones propias $u_k$, entonces uno puede probar a escribir $$ f = \sum_{k} c_k u_k $$ como una combinación de las funciones propias con coeficientes constantes $c_k$. Si esto es posible, entonces podemos resolver $$ \nabla^2 u = f$$ por formalmente la inversión del operador para obtener $$ u = \sum_{k} \frac{c_k}{\lambda_k} u_k $$ Y, entonces sí, la comprensión de los valores y eigenfunction también puede ayudar a entender la no homogénea problema de programación lineal.

Answer 3

En la mecánica cuántica, los autovalores son de física de interés. Los autovalores del Hamiltoniano del operador (que determina la forma de la función de onda se propaga en el tiempo) son también el único permitido energías del sistema.

Cuando se propaga en el tiempo, ciertos efectos físicos pueden ser simulados mediante el uso de una incompleta autovalor. Para simular un "núcleo" de electrones de un gran átomo como Xenón, uno puede hacer la suposición de que los electrones más externos quedan donde están, y dejar a sus estados de energía de la esencia del estado del conjunto de base para simular el efecto de la interacción de canje en el núcleo. Uno puede hacer lo mismo con el exterior y el núcleo de los electrones de conmutación.

La selección de las reglas que el ancho de banda de autovalor bases a ser menor que el de las diferencias finitas o elementos finitos de las matrices.

Para una clásica elástica del sistema, los valores propios y los autoestados corresponden a las frecuencias naturales y modos normales del sistema. El sistema tenderá a oscilar en estas frecuencias, por lo que uno debe tener cuidado de no conectar el sistema a las vibraciones en estas frecuencias.