Minimizar la integral de una función y su derivado

Question

Estoy tratando de encontrar la función de $x(t)$ que minimiza la cantidad

$$\int_0^1 (x^2 +\dot{x}^2)dt$$

dado que el $x(0)=1$ $x(1)$ es gratuito, así que estoy esperando el resultado para ser una función de la $x(1)$ sí).

Sin embargo, estoy totalmente perdido en esto. Uno podría decir que el más pequeño valor de la integral puede tomar es $0$, y, por tanto, resolver $x^2 +\dot{x}^2 = 0 \Rightarrow \dot{x}^2 = -x^2$, pero esta es una ODA que encuentro particularmente extraña (incluso si tiene sentido, no tengo idea de cómo resolverlo).

Cualquier idea o solución sería muy apreciada.

Answer 1

Nota:$J(x) = \int_0^1 x^2 + \dot{x}^2$.

1. usted no puede resolver el ODE porque LHS es $\ge 0$ HR es $\le 0$, e $x(0) = 1$.
2. el método aquí es considerar $$x(t) = x^*(t) + \epsilon f(t)$$ donde $x^*(t)$ es la solución a su problema. Si $x(t)$ es otro de entrada, $x(0) = x^*(0)$$f(0) = 0$.

Ahora, considere el asintótica $\epsilon\to 0$:

$$x^2(t) = [x^*(t)]^2 + 2\epsilon f(t) x^*(t) + O(\epsilon^2)$$ $$[\dot x^*(t)]^2 + 2\epsilon \dot f(t) \dot x^*(t) + O(\epsilon^2)$$

$$J(x) = J(x^*) + 2\epsilon\int_0^1 [f x^* + \dot f \dot x^*]+O(\epsilon^2)$$

Ahora como $J$ es el mínimo para $x^*$: $$ 0= \int_0^1 [f x^* + \dot f \dot x^*] = \int_0^1 f x^* + [f\dot x^*]_0^1 - \int_0^1 f \ddot x^* $$

usted obtener finalmente, tomando cada función $f$ como $f(0) = f(1) = 0$: $$ x^* - \ddot x^* = 0 $$ Se puede expresar la solución como una función de la $x^*(1)$, debido a $x^*(0) = 1$.

Por supuesto, usted necesita para comprobar que esta es la solución, pero aquí solo tomar los pasos hacia atrás y no debería haber ningún problema.