Una pregunta que involucra alturas de ideales

Question

Sea $R$ un anillo noetheriano conmutativo y $a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n \in R$ elementos tales que las alturas de los ideales $A_m:=(a_1, \ldots, a_m)$ y $B_m=(b_1, \ldots, b_m)$ son iguales a $m$ para cada $m\in\{1, \ldots, n\}$. Quiero encontrar elementos $c_1, \ldots, c_n \in R$ de manera que $c_m \in A_m \cap B_m$ y la altura del ideal $(c_1, \ldots, c_m)$ sea igual a $m$ para cada $m\in\{1, \ldots, n\}$.

Ten en cuenta que podemos elegir $c_1=a_1b_1$ ya que si $P$ es un ideal primo minimal sobre $(c_1)$ entonces $a_1 \in P$ o $b_1 \in P$ lo que significa que $A_1 \subseteq P$ o $B_1 \subseteq P$ así que la altura de $P$ es al menos $1$.

¿Cómo elegimos $c_2, \ldots, c_n$?

Answer 1

Inducción en $n\ge1$.

Para el caso $n=1$ establezca $c_1=a_1b_1$.

Por inducción existen $c_1, \dots, c_{n-1}$ tal que $c_i \in (a_1, \dots, a_i) \cap (b_1, \dots ,b_i)$ y $\operatorname{ht}(c_1,\dots,c_i)=i$ para todos los $i$, $1\le i\le n-1$. La altura de los ideales $(a_1,\dots,a_n)$ y $(b_1,\dots,b_n)$ es $n$. Así que $(a_1,\dots,a_n)\nsubseteq\mathfrak p$ y $(b_1,\dots,b_n)\nsubseteq\mathfrak p$ para todo primo $\mathfrak p$ mínimo sobre $(c_1, \dots, c_{n-1})$. Entonces existen $d\in(a_1,\dots,a_n)$ y $d' \in (b_1,\dots,b_n)$ tal que ni $d$ ni $d'$ están contenidos en ningún primo mínimo sobre $(c_1,\dots,c_{n-1})$. De esta manera $c_n=dd'$ es el elemento deseado.