Confundir los problemas de probabilidad basados en combinaciones y la regla del producto

Question

Estoy pasando por la probabilidad de ejercicio. Enfrentado primer problema:

Libro De Q1. Diez entradas son numeradas 1,2,3,...,10. Seis entradas son seleccionados al azar de una en una con el reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor número que aparece en el seleccionado las entradas es de 7?

Mi lógica: si uno de los seis boletos deben ser de 7, el $\color{red}{\text{remaining 5}}$ puede ser de 1 a 7, por lo que debería ser $7^5$.

Pero resulta que la solución dada es $\frac{7^6-6^6}{10^6}$.

Mi P1. A pesar de que he entendido la lógica detrás de $\frac{7^6-6^6}{10^6}$, me preguntaba ¿qué es exacto lógica error con $7^5$? Yo supuse que $7^5$ ignora por completo lo que debería ser 6 billete, sólo se pone restricción en 5 entradas. Es como que?

Entonces me topé con similar pero más involucrados problema, con diferencia significativa desde arriba uno que se realiza la acción sin reemplazo:

Libro De Q2. Tres números son elegidos al azar sin reemplazo de (1,2,3,...,10). ¿Cuál es la probabilidad de que el número mínimo es de 3 o el número máximo es 7?

Mi lógica: darse cuenta de que este es sin reemplazo, supuse que la solución debe ser $$ = \begin{pmatrix} \text{selections with}\\ \text{minimum}\\ \text{number is 3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \text{selections with}\\ \text{maximum}\\ \text{number is 7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{selections with}\\ \text{maximum}\\ \text{number is 7}\\ \text{and minimum}\\ \text{number is 3} \end-{pmatrix} $$

$$= \frac{ \overbrace{(\binom{8}{3}-\binom{7}{3})}^{\texto{#selecciones con el min 3}} + \overbrace{(\binom{7}{3}-\binom{6}{3})}^{\texto{#selecciones con un máximo de 7}} - \overbrace{3\times {^3P_3}}^{\text{#selecciones con un máximo de 7 y 3 min}} } {\binom{10}{3} } $$ Pero el libro de soluciones, dice:

P(mínimo 3) o P(máximo 7)

P(mínimo 3) $=\frac{\binom{7}{2}}{\binom{10}{3}}=\frac{21}{120}$

P(max 7) $=\frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{15}{120}$

Por lo tanto la solución es $\frac{11}{40}$

Mi Q2. Cómo, incluso en los libros de la lógica de la solución de $\frac{11}{40}$ se consigue. Soy incapaz de entender como puedo encontrar la explicación insuficiente.

Mi Q3. Si el libro Q2 respuesta es correcta, entonces ¿por qué en el libro Q1 solución no es $7^5$ que es lo que yo inicialmente adivinado (porque la única diferencia con / sin reemplazo, la lógica de $\color{red}{\text{remaining m}}$ materias salida n debe permanecer mismo)?

Mi T4. Si hacemos la primera pregunta sin reemplazo, la solución se $\frac{\binom{7}{6}-\binom{6}{6}}{\binom{10}{6}}$?

Mi Q5. ¿Cuál será la solución si hacemos libro Q2 con el reemplazo?

Mi P6. Donde mi lógica para la solución del Libro Q2 está mal?

Answer 1

En el cálculo de $7^5$ que son, en efecto, suponiendo que la primera entrada es un $7$; $7^5$ es entonces el número de maneras de elegir el resto de $5$ entradas, de modo que ninguno de ellos es mayor que $7$. Desde cualquiera de los seis boletos podría acabar siendo el único para mostrar una $7$, usted podría tratar de multiplicar su número por $6$ conseguir $6\cdot 7^5$. Sin embargo, entonces usted podría ser overcounting: la secuencia de los boletos $7,1,3,7,3,5$, por ejemplo, podría ser contada una vez para la primera $7$, y nuevamente para el segundo $7$. Es posible calcular el valor correcto por la ruptura de las secuencias de los casos según el número de $7$s, pero es mucho más simple para empezar con el $7^6$ secuencias que no contienen un número mayor de $7$ y restar el $6^6$ que no contienen un $7$.

Para tu segunda pregunta, tenga en cuenta que $\binom{n+1}{k+1}-\binom{n}{k+1}=\binom{n}k$; esto es sólo un reordenamiento de Pascal de la identidad. Por lo tanto, su $\binom83-\binom73$, por ejemplo, es igual a la del libro $\binom72$, y su $\binom73-\binom63$ es igual a la del libro $\binom62$. El razonamiento que permite que el libro para ir directamente a $\binom72$$\binom62$: se puede formar un conjunto con un máximo de $7$ estar recogiendo $2$ números de la $6$-conjunto de miembros $\{1,2,3,4,5,6\}$, ya que sabemos que el número restante será un $7$, y podemos formar un conjunto con un mínimo de $3$ mediante la selección de $2$ los números de la $7$-conjunto de miembros $\{4,5,6,7,8,9,10\}$, ya que sabemos que el número restante será un $3$. Ahora $\frac{21}{120}+\frac{15}{120}=\frac7{40}+\frac5{40}=\frac{12}{40}$, y de que debemos restar la probabilidad de obtener un máximo de $7$ y un mínimo de $3$. Pero eso es fácil: el número restante debe ser $4,5$ o $6$, por lo que hay sólo $3$ posibles conjuntos de $3$ números, y la probabilidad de obtener un es $\frac3{120}=\frac1{40}$. La probabilidad final es, por tanto,$\frac{12}{40}-\frac1{40}=\frac{11}{40}$.

El problema con la $3\times{^3P_3}$, que supongo es $3\cdot3!=18$, es la que toma el pedido del sorteo en cuenta, mientras que todos los demás parte de su cálculo meramente cuenta desordenada conjuntos de números. Usted puede hacer cualquier manera, pero tienes que ser constante. Sin el fin de tomar en cuenta, como ya hemos visto, sólo $3$ establece con un mínimo de $3$ y un máximo de $7$, no $18$; hay $18$ secuencias en las que los conjuntos se pueden extraer, sin embargo, $6$ para cada uno. Alternativamente, usted puede multiplicar cada uno de los otros dos términos y el denominador por $3!$ para el fin de tomar en cuenta en todos ellos.

Para su tercera pregunta, con versus sin el reemplazo no es la única diferencia, si se calcula el segundo resultado del uso de conjuntos de números en lugar de secuencias (como lo hicieron): también existe la diferencia en si usted toma la orden de sorteos en cuenta. En la primera pregunta que tienes que hacerlo; en el segundo, no (y es más fácil que no).

La respuesta a la cuarta pregunta es sí, a pesar de que puede simplificar el numerador a $\binom65$: usted sabe que usted debe tener la $7$, por lo que sólo necesita contar el número de maneras de escoger el restante $5$ a los números del conjunto $\{1,2,3,4,5,6\}$.

La corrección. Para la segunda pregunta con la sustitución no se $8^3$ secuencias de tres cifras que no incluyen ni $1$ o $2$ y por lo tanto tener un mínimo de al menos $3$. $7^3$ de estos no incluyen $3$, por lo que hay $8^3-7^3$ secuencias que tienen un mínimo de $3$. Razonamiento Similar muestra que hay $7^3-6^3$ secuencias que tienen un máximo de $7$, así como una primera aproximación hemos

$$(8^3-7^3)+(7^3-6^3)=8^3-6^3$$

secuencias con un mínimo de $3$ o un máximo de $7$. Sin embargo, de que cuenta con el doble de las secuencias que tienen un mínimo de $3$ y un máximo de $7$. Es fácil contar en estos más o menos a mano: si hay dos $3$s y $7$, $7$ puede estar en cualquiera de $3$ lugares, por lo que hay $3$ dichas secuencias. Del mismo modo, hay $3$ secuencias con dos $7$s y $3$. Si hay un$3$,$7$, y un número intermedio, hay $3$ opciones de intermedio número y $3!=6$ pedidos para cada conjunto de tres números, para un total de $18$ más secuencias. Por lo tanto, no se $3+3+18=24$ secuencias con un mínimo de $3$ y un máximo de $7$, y la cuenta final

$$8^3-6^3-18=278\;.$$

Desde allí se $10^3$ secuencias en total, la probabilidad es $0.278$.

Answer 2

Abordar sus Q1, la diferencia entre la respuesta que dio y la respuesta que el libro da es que su solución se supone que una selección específica es de 7. Es decir, $\frac{7^5}{10^6}$ es la probabilidad de que un fijo de entradas es de 7 y el otro de cinco tomar los valores de 1 a 7, mientras que los libros de solución supone que al menos una de las entradas es de 7.

Q2 El segundo problema es muy diferente ya que no hay orden en los conjuntos de números elegidos. Tenga en cuenta que$\binom{8}{3}-\binom{7}{3}=\binom{7}{2}$$\binom{7}{3}-\binom{6}{3}=\binom{7}{2}$, de manera que parte de su respuesta es consistente con el libro de la solución, aunque la lógica de que el libro de los usos podría ser un poco más sencillo. En cada uno de los casos anteriores, el libro de la solución, corrige el número y, a continuación, elige otros dos números al azar de entre el conjunto permitido ($\{$mayor que 3$\}$ o $\{$menos del 7$\}$). El uso de este tipo de razonamiento de la que rápidamente puede enumerar la cantidad de opciones, con un máximo de 7 y min 3: dos de las opciones son fijos y sólo hay tres posibilidades para la tercera opción. Por lo tanto la solución es $$ \frac{\binom{7}{2}+\binom{6}{2}-3}{\binom{10}{3}}=\frac{11}{40}. $$

Para su Q3, de nuevo, el orden implícito en el primer problema que hace que sea fácil accidentalmente especificar un orden durante el proceso de solución (y como resultado obtener la respuesta incorrecta). Tenga en cuenta que la solución para el segundo problema no era necesariamente malo (no sé lo $3\times^3P_3$ medio), que sólo se utiliza un método diferente que el libro.

Para su Q4 estás en lo correcto. Esto es lo mismo que $$\frac{\binom{7}{5}}{\binom{10}{6}}.$$

Q5 , La respuesta sería $$ \frac{(8^3-7^3)+(7^3-6^3)-5}{10^3}. $$ Déjeme saber si usted tiene alguna pregunta acerca de cómo llegué a la respuesta anterior.

Answer 3

Con las respuestas ya dadas, la voy a poner diferentes escenarios posibles y no hay soluciones aquí por referencia.

1. La selección de seis de {1,2,3,...,10} con reemplazo. De la probabilidad de un mayor número seleccionado es 7 = ?

   Sol. $$ \overbrace {\frac{7^6-6^6}{10^6}} ^{ \begin{pmatrix} \text{no. of ways of selecting any six out of {1,..,7}} \\ \text{removing those not containing 7}\\ \text{i.e. those six from {1,..,6}}\\ \end{pmatrix} }=0.070993$$

2. La selección de seis de {1,2,3,...,10} sin sustitución, mientras que tomando el orden de selección en cuenta. De la probabilidad de un mayor número seleccionado es 7 = ?

   Sol. $$ \frac{ \overbrace{\binom{7}{6}} ^{\begin{pmatrix} \text{no. of ways to} \\ \text{select six from {1,..,7}} \\ \text{without considering} \\ \text{order} \\ \end{pmatrix}} - \overbrace{\binom{6}{6}} ^{\begin{pmatrix} \text{no. of ways to} \\ \text{select six from {1,..,6}} \\ \text{without considering} \\ \text{order} \\ \end{pmatrix}} }{ \binom{10}{6} }= \frac{ \overbrace{\binom{6}{5}} ^{\begin{pmatrix} \text{selecting six from {1,..,7}} \\ \text{with 7 as max reduces to} \\ \text{selecting 5 from {1,..,6}} \\ \text{since you know you must} \\ \text{have 7} \\ \end{pmatrix}} }{\binom{10}{6}}=\frac{1}{35}=0.028571 $$

3. La selección de seis de {1,2,3,...,10} sin sustitución, mientras no tomar la orden de selección en cuenta. De la probabilidad de un mayor número seleccionado es 7 = ?

   Sol. $$ \frac {\overbrace {^6P_5} ^{ \begin{pmatrix} \text{no. of ways to select five} \\ \text{out of {1,..,6} while} \\ \text{considering order} \\ \end{pmatrix} } \times \overbrace {6} ^{ \begin{pmatrix} \text{putting 7} \\ \text{in one of 6 places} \\ \end{pmatrix} } }{^{10}P_6} $$

4. La selección de tres de {1,2,3,...,10} con reemplazo. De la probabilidad de un mayor número seleccionado es de 7 y la más pequeña es de 3 = ?

   Sol. $$\frac{(8^3-7^3)=(7^3-6^3)-18}{10^3}=0.278$$ Para más detalles, vea la corrección de Brian Scott solución.

5. La selección de tres de {1,2,3,...,10} sin sustitución, mientras que tomando el orden de selección en cuenta. De la probabilidad de un mayor número seleccionado es de 7 y la más pequeña es de 3 = ?

   Sol. $$ \frac {\overbrace {^7P_2\times 3} ^{ \begin{pmatrix} \text{no. of ways to select two} \\ \text{out of {4,..,10}} and \\ \text{put 3 in any of three places} \\ \text{making 3 min number among} \\ \text{three selected} \\ \end{pmatrix} } + \overbrace {^6P_2\times 3} ^{ \begin{pmatrix} \text{no. of ways to select two} \\ \text{out of {1,..,6} put 7} and \\ \text{put 7 in any of three places} \\ \text{making 7 max number among} \\ \text{three selected} \\ \end{pmatrix} } - \overbrace {^3P_3 \times 3} ^{ \begin{pmatrix} \text{Selecting 3 tickets with both} \\ \text{min 3 and max 7:} \\ \text{first select any one of} \\ \text{4,5 or 6,then perform} \\ ^3P_3\text{ arrangements with the} \\ \text{selected number,3 & 7} \\ \end{pmatrix} } }{^{10}P_3} = \frac{198}{720} = 0.275 $$

6. La selección de tres de {1,2,3,...,10} sin sustitución, mientras no tomar la orden de selección en cuenta. De la probabilidad de un mayor número seleccionado es de 7 y la más pequeña es de 3 = ?

   Sol. $$ \frac {\overbrace {\binom{8}{3}-\binom{7}{3}} ^{ \begin{pmatrix} \text{no. of selections} \\ \text{with 3 as minimum} \\ \end{pmatrix} } + \overbrace {\binom{7}{3}-\binom{6}{3}} ^{ \begin{pmatrix} \text{no. of selections} \\ \text{with 7 as maximum} \\ \end{pmatrix} } - \overbrace {3} ^{ \begin{pmatrix} \text{no. of selections with both} \\ \text{3 as min & 7 as max:} \\ \text{{3,7,4},{3,7,5},{3,7,6}} \\ \end{pmatrix} } }{\binom{10}{3}} =\frac{\binom{7}{3}+\binom{6}{2}-3}{\binom{6}{2}} =\frac{11}{40} =0.275 $$