Mostrar que $f(n) = \left(\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)\right)^n$ aleja

Question

Estoy teniendo esta secuencia: $$f (n)= \left( \frac{\sqrt 2}{2}(1+i)\right)^n$ $ creo que es divergente, porque encontré un subsequence que es divergente:

El subsequence $4n$ muestra que la secuencia alterna entre $1$y $-1$.

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Preguntas:

1. ¿Es esto correcto?
2. ¿Cómo puedo escribir mis reflexiones hacia abajo de manera formalmente correcta?

Answer 1

$$\frac{\sqrt2}2(1+i)=\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}i=e^{\frac\pi4i}\implies$$

$$f(n)=e^{\frac{n\pi}4i}=\begin{cases}1&,\;\;n=0\pmod 8\\frac1{\sqrt2}(1+i)&,\;\;n=1\pmod8\i&,\;\;n=2\pmod8\\frac1{\sqrt2}(-1+i)&,\;\;n=3\pmod 8\-1&,\;\;n=4\pmod 8\-\frac1{\sqrt2}(1+i)&,\;\;n=5\pmod 8\-i&,\;\;n=6\pmod 8\\frac1{\sqrt2}(1-i)&,\;\;n=7\pmod 8\end{cases}$$

Así, $\;n\to\infty\;,\;\;f(n)\;\;$ se acerca a nada: mantienen en alcanzar los ocho valores del anteriores.

Answer 2

Es correcto. Desde $$|f(4n+4)-f(4n)|=2\quad\forall n\in\Bbb N$ $ la secuencia no es una secuencia de Cauchy, y por lo tanto, diverge.

Answer 3

Tenga en cuenta % $ $$f(n) = \left( \frac{\sqrt[]{2}}{2}(1+i)\right)^n =\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot i\right)^n = \left(e^{i\pi/4}\right)^n = e^{i\pi n/4}$

Por lo tanto, $$f(4n) = e^{i\pi n} = (-1)^n$ $ que diverge cuando $n\to\infty$.

Answer 4

El número $\sqrt{2}(1+i)/2$ tiene complejo módulo 1 y ángulo $\pi/4$. Así, las secuencia $f(n)$ danzas alrededor del origen a lo largo de los vértices de un octógono regular.