Derivado de la mentira de la 2-forma de Kahler

Question

Supongamos que hay un Asesinato de vectores $k$ en un Kahler colector $M$. Por definición, $k$ genera isometrías de la métrica. Es decir, $L_kg=0$ donde $L$ es la Mentira de derivados. Al mismo tiempo, hay una holomorphic estructura compleja que satisface $L_kJ=0$. Tengo dos preguntas:

1. Es $L_kJ=0$ genérico para Kahler colectores o que es específico para mi ejemplo particular donde quería $J$ a conmuta con la SUSY generadores (al parecer esto tiene algo que ver con la elaboración de $J$ holomorphic)?

2. Lo que es más importante, los fundamentales de la 2-forma en el Kahler colector se define como $\omega_{ab} = g_{ac} J^c_b$. ¿Cómo puedo demostrar que $L_k \omega=0$?

En algún sentido es obvia: $L_k \omega_{ab} = L_k (g_{ac} J^c_b) = (L_k g_{ac}) J^c_b + g_{ac} (L_k J^c_b) = 0$ desde Mentira derivados obedece a reglas producto.

Sin embargo, debo ser capaz de recuperar en los componentes también. Para un rango de general de 2 tensor de campo, $$(L_k T)_{ab}= k^c \nabla_c T_{ab} + T_{ac} \nabla_b k^c + T_{cb} \nabla_a k^c.$$ If I use that $\omega_{ab} = g_{ac}J^c_b$ en esta fórmula general, me sale: $$(L_k \omega)_{ab} = k^c \nabla_c (g_{ad} J^d_b) + g_{ad} J^d_c \nabla_b k^c + g_{cd} J^d_b \nabla_a k^c$$ y no sé cómo demuestran que esto es igual a cero?

Answer 1

Las afirmaciones no son ciertas en completa generalidad. Por ejemplo, $R^{2n}$ es un Kähler colector y cualquier vector $k$ es Matar a un vector. Pero la Mentira de los derivados de la $J$ $\omega$ no desaparecen por un general $k$.

Sin embargo, este ejemplo fue especial, ya que no era lo suficientemente curva. Para genéricos y curvas suficiente Kähler colector, los objetos $J,\omega$ puede ser calculado, básicamente, excepcionalmente, fuera del existente métrica campo tensorial $g$. Debido a que son funciones de $g$, de su Mentira derivado debe desaparecer porque la Mentira derivados de la métrica $g$ se desvanece.

No voy a tratar de escribir las funciones de forma explícita, en parte porque es metodológicamente ilógico. Si uno sabe que el colector es un Kähler colector, luego de hablar sobre la Kähler forma y la estructura compleja que debe ser "más fundamental" de hablar acerca de la métrica. La métrica es, naturalmente, se calcula a partir de la Kähler forma, no la otra manera alrededor. Así que en ese caso, tiene sentido suponer que la Mentira derivados de la Kähler forma y la estructura compleja se desvanece, y demostrar que la Mentira derivados de la métrica se desvanece así.

Para un campo dado, si las alegaciones son verdaderas, debería ser más fácil para demostrar la desaparición de la Mentira derivados de la Kähler forma o la estructura compleja debido a que estas derivaciones uso de las simplificaciones de la geometría compleja.