Cómo probar: $ \left ( \frac {2}{ \sqrt {4-3 \sqrt [4]{5}+2 \sqrt [4]{25}- \sqrt [4]{125}}}-1 \right )^{4}=5$ ?

Question

Pregunta:

mostrar que: la hermosa ${ \tt sqrt}$ -identidad:

$$ \left ({2 \over \sqrt { \vphantom { \Large A}\, 4\ -\ 3\, \sqrt [4]{\,5\,}\ +\ 2\, \sqrt [4]{\,25\,}\ - \, \sqrt [4]{\,125\,}\,}\,}\ -\ 1 \right )^{4} =5 $$

¿Puede alguien tener métodos para probar esto a mano? (Tal vez este problema tenga muchos métodos porque este resultado es entero. Es una sorpresa para mí.) Gracias.

Porque encontré esto $$4\ -\ 3 \sqrt [4]{\,5\,}\ +\ 2 \sqrt [4]{\,25\,}\ -\ \sqrt [4]{\,125\,}$$ no son números cuadrados.

Answer 1

Pista: Set $x=5^{1/4}$ Entonces $$ \frac {2}{ \sqrt {4-3x+2x^2-x^3}}-1=x $$ Esta ecuación se simplifica para $$ x(x^4-5)=0 $$ El resto está claro.

Answer 2

Deje que $x = 4-3 \sqrt [4]{5}+2 \sqrt [4]{25}- \sqrt [4]{125}$ . Entonces, lo hemos hecho:

(1) $x = 4 - 3 \cdot 5^{1/4} + 2 \cdot 5^{2/4} - 5^{3/4}$

(2) $5^{1/4}x = 4 \cdot 5^{1/4} - 3 \cdot 5^{2/4} + 2 \cdot 5^{3/4} - 5$ (Multiplique (1) por $5^{1/4}$ )

(3) $(5^{1/4}+1)x = -1 + 5^{1/4} - 5^{2/4} +5^{3/4}$ (Añade (1) y (2))

(4) $5^{1/4}(5^{1/4}+1)x = -5^{1/4} + 5^{2/4} - 5^{3/4} +5$ (Multiplique (3) por $5^{1/4}$ )

(5) $(5^{1/4}+1)^2x = 4$ (Añade (3) y (4))

Por lo tanto, $x = \dfrac {4}{(5^{1/4}+1)^2}$ . Por lo tanto, $ \left ( \dfrac {2}{ \sqrt {x}}-1 \right )^4 = \left ( \dfrac {2}{ \tfrac {2}{5^{1/4}+1}}-1 \right )^4 = (5^{1/4}+1-1)^4 = 5$ .

Answer 3

[Esta es una paráfrasis de la elegante respuesta de JimmyK4542 de antes]

Deje que $$b=-5^{ \frac 14}$$

Entonces la larga expresión bajo el signo de la raíz cuadrada larga se convierte en una serie aritmética-geométrica: $$k=4+3b+2b^2+b^3$$ Multiplicando por $b$ : $$ \begin {align} b \cdot k&= \quad \qquad 4b+3b^2+2b^3+b^4 \\ &= \quad \qquad 4b+3b^2+2b^3+5 \end {align}$$ Restar: $$ \begin {align} (b-1)k&=1+b+b^2+b^3 \\ &= \dfrac {b^4-1}{b-1} \\ &= \dfrac 4{b-1} \\ k&= \dfrac 4{(b-1)^2} \\ \sqrt {k}&= \dfrac 2{1-b} \\ \left ( \dfrac 2{ \sqrt {k}} -1 \right )^4&={(-b)}^4=5 \end {align}$$