Supongamos que $p,q,r \in \mathbb{R}$ con $p > 0$ . Escribe (sin pruebas) el límite de la siguiente expresión: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin^2(x^p)}{x^q+x^r}$$ En particular, encuentre y demuestre el límite de la expresión si $p=3$ , $q=6$ , $r=7$ .
He conseguido (a través de innumerables gráficos en Desmos): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin^2(x^p)}{x^q+x^r}=\begin{cases} 0 & \text{if either $q < 2p$ or $r < 2p$} \\ \frac 12 & \text{if $q=r=2p$} \\ 1 & \text{if either $q=2p$, $r > 2p$ or $q > 2p$, $r=2p$} \\ \infty & \text{if $q > 2p$, $r > 2p$} \end{cases}$$
Además, en el caso de $p=3$ , $q=6$ , $r=7$ la expresión se convierte en $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin^2(x^3)}{x^6+x^7}.$$ Pude demostrar que $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin^2(x^3)}{x^6+x^7} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\sin(x^3))^2}{x^6(1+x)} \le \lim_{x \to 0^+} \frac{(x^3)^2}{x^6(1+x)}=\lim_{x \to 0^+}\frac 1{1+x} = 1.$$ Ahora, el gráfico de esta función en Desmos me dice que, de hecho, $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin^2(x^3)}{x^6+x^7} = 1.$$ ¿Cómo puedo demostrar la otra desigualdad, para lograr este resultado? En concreto, tengo problemas para demostrar $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin^2(x^3)}{x^6+x^7} \ge 1.$$
