Evolución del oscilador armónico en la formulación integral de camino

Question

Estado unnormalized de la base del oscilador armónico (elección de unidades tales que $m = \hbar = \omega = 1)$ es %#% $#%

La función de transición es %#% $ #% donde $$\tag{1}\psi(q,t) = \exp(-q^2/2-it/2).$ y $$\tag{2}W(q_2,t_2,q_1,t_1) = \dfrac{ 1}{ \sqrt{2\pi i S} }\exp \left[ \dfrac{i}{2S}\left((q_1^2 + q_2^2)C - 2q_1 q_2 \right) \right],$.

De consideraciones generales, debemos tener

$S = \sin(t_2 - t_1)$$

¿Podemos también mostrar esta calculando la integral explícitamente para el estado dado? Mis intentos por esto han fracasado; en particular, nunca llego la hora correcta dependencia $C = \cos(t_2 - t_1)$ en el resultado final.

Answer 1

Sugerencias:

1. OP ejercicio es esencialmente una cuestión de comprobación de una oscilación de Gauss integral (3) por encima de la posición inicial $q_1$.

2. Deje $\Delta t_M:=t_2-t_1>0$. Para representar el Gaussiano integral convergente, insertar Feynman $i\epsilon$ receta $\Delta t_M\to\Delta t_M-i\epsilon$. O, equivalentemente, Mecha-rotar $\Delta t_E:=i\Delta t_M$ donde ${\rm Re}(\Delta t_E)>0$. Aquí las letras $M$ $E$ es sinónimo de Minkowski y Euclides, respectivamente.

3. Tenga en cuenta que$iS:=i\sin\Delta t_M=\sinh\Delta t_E$$C:=\cos\Delta t_M=\cosh\Delta t_E$.

4. Realizar el convergente Gaussiano integral (3) a través de la variable real $q_1$.

5. Después de la Gaussiana de la integración, la nueva raíz cuadrada del factor de $\dfrac{ 1}{ \sqrt{(C+i S}) }$ producirá el buscado $t_2$ dependencia.