¿Qué significa "significado" significa, en la Whitehead y Russell PM?

Question

En Principia Mathematica de la Introducción, no hay una definición de "incompleto" símbolo:

Por un "incompleto" con el símbolo que significa un símbolo que no se supone que tiene ningún significado en forma aislada, sino que sólo está definida en ciertos los contextos. -- Capítulo III, Principia Mathematica, 1ª edición, página 69.

No estoy seguro de lo que "significa" significa en esta definición. A juzgar por el pasaje que sigue, supongo que si un símbolo tiene un "significado" que el símbolo representa un objeto, como "Sócrates" significa para un hombre. Como cuestión de hecho, en Russell Una Investigación del Significado y de la Verdad, el significado de un objeto-la palabra es la cosa que representa. Por favor, hágamelo saber si "significado" en el PM tiene la misma definición que en Una Investigación del Significado y de la Verdad. Gracias.

Answer 1

Russell es el desarrollo de su teoría de las descripciones aquí. Aproximadamente, hace un "incompleto símbolo" para que no se refieren -- uno que no tiene una denotación en la forma en que los nombres propios deben hacer. Así, por ejemplo, la expresión "el autor de Waverley"- de acuerdo a la teoría de Russell, no denotan; no se le puede pedir lo que su referente es. (EDICIÓN 2: Russell hace uso de la notación $\psi(\iota x\phi (x))$, pero esto no significa que $\iota x\phi(x)$ denota un objeto que puede servir como argumento de $\psi(y)$, debido a $\psi(\iota x\phi(x))$ es en realidad la abreviatura de $\exists x(\phi(x)\land\forall y(\phi(y)\rightarrow y=x)\land \psi(x))$.)

Así que frases como "el autor de Waverley", o "el más famoso autor de Principia Mathematica," no puede ser pensada como nombres propios; y desde Russell piensa que el "significado" de los términos de referencia, la expresión no puede decirse que tienen un significado "en aislamiento". (Una de las razones Russell hace que este argumento es para ayudar a explicar cómo formalizar el lenguaje acerca de los objetos que no existen, por ejemplo, "el actual Rey de Francia es calvo" o "el mayor número primo.") Sólo en una frase como "Scott es el autor de Waverley"¿la expresión adquirir un referente: que es lo que él entiende por el significado sólo se "definidos en ciertos contextos." En resumen, algunas de las expresiones que mirar como objetos de palabras o nombres propios, es decir, las expresiones que se mire como se refieren (a un objeto) - en realidad, a no ser, si usted tiene cuidado sobre el análisis lógico.

Si usted es o no un defensor de la Russellian teoría de las descripciones definidas, la matemática ejemplos Russell le da al comienzo del capítulo 3 no debe ser tomado demasiado en serio. Dice, por ejemplo, que el símbolo $\frac{d}{dx}$ debe ser pensado como una incompleta símbolo-que no debe ser considerado como que tiene una denotación o referencia por sí mismo, cuando no es "completado" por un símbolo de función: e.g $\frac{d}{dx}(x^2)$.

Para un matemático contemporáneo, sin embargo, esto puede sonar tonto. Un contemporáneo matemático es probable que decir que $\frac{d}{dx}$ designa a un operador en un espacio (por ejemplo, el espacio de las funciones lisas de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$). Por supuesto, puede haber cierta ambigüedad acerca de que la función del espacio que se quiere decir, pero que no suponen un gran problema: es generalmente claro por el contexto que el espacio de funciones que uno está trabajando.

Answer 2

Después de su propia respuesta, recordemos que [página 66] :

Por un "incompleto" con el símbolo que significa un símbolo que se supone que no tienen ningún significado en el aislamiento, pero sólo está definida en ciertos contextos.

El problema es similar a la de términos [i.e.nombres] sin denotación.

Básicamente, la "filosofía del sentido" de la PM se basa en proposiciones que "hablar de" hechos: el "ideal" del lenguaje de la PM lógica debe expresar sólo verdaderas o falsas las proposiciones.

Debido a las paradojas, R&W - con el fin de evitar el riesgo de proposiciones que no son verdaderas ni falsas - introducir el concepto de "sin sentido" de la expresión. En su sistema, un menaingless la proposición es detectado por el hecho de que se viole sintáctica de restricciones (ver: tipos de teoría).

El caso paradigmático de "incompleto" símbolo es el de descripciones definidas, como :

el Rey de Francia es calvo.

¿Cuál es el significado de la anterior proposición si no hay ningún Rey de Francia ?

La solución de Russell descubrió fue basada en el saber de parafrasear :

$(\exists x) (king_F(x) \land bald(x)) \land (\forall y)[(king_F(y) \land bald(y)) \rightarrow x = y]$.

Por lo tanto, en conclusión, si no hay ningún Rey de Francia, la izquierda conjunción es falsa, por lo que la frase completa es falso. Hemos encontrado una manera de dar "sentido" a una expresión también cuando "aparentemente" incluye no denota plazo.

Russell solución es : eludir la necesidad de un plazo para salvaguardar "compositionalty" de significado (he.e.el significado o valor de verdad de la expresión completa se basa en el significado de sus componentes).

Toda esta "maquinaria" se utiliza en la tarde para las clases [página 71] :

Los símbolos para las clases, como aquellas para las descripciones, son, en nuestro sistema, incompleta símbolos: sus usos están definidos, pero ellos mismos no se supone que significa nada en absoluto. Es decir, el uso de tales símbolos son tan definidos que, cuando el definitorio es sustituido por el definiendum, ya no queda ningún símbolo de lo que podría ser para representar a una clase. Por lo tanto las clases, en la medida que les presentamos, son meramente simbólica o lingüística de las conveniencias, no genuinos objetos como sus miembros se si son los individuos.

De otra manera, también la clase de términos (es decir,"moderno" conjunto de términos : $\alpha = \{ x : \phi x \}$) como $\alpha = \hat{x} \phi x$, son "eliminados" de la misma manera, porque no denota.

Answer 3

Con el fin de que $(℩x)\phi(x)$ ha significados, $(℩x)\phi(x)$ tendría que estar para uno de los objetos que son capaces de ser argumentos a $ \phi(x) $, lo que no puede ser el caso, como se muestra por la paradoja presentada por "Scott es el autor de Waverley."

Deje $ t $ stand para la clase de objetos que son capaces de ser un argumento a $\phi(x)$. Estar de pie por un miembro de $ t $ es lo que h significa por "tienen significados" en este contexto, como en pequeñas letras latinas se supone que para hacer al $ \phi(x) $ es una predicción de la función. Observe que $ t $ no es lo mismo que $ \hat{z}(\phi z)$ cuyos miembros son objetos, no sólo capaz de ser argumentos a$\phi(x)$, pero también satisface $\phi(x)$. $t$ en realidad es $ \hat{z}(\phi(z) \vee \sim\phi(z))$