Supongamos que quiero generar un azar la probabilidad de vectores $p = (p_1,\dots,p_d) \in [0,1]^d$, distribuida uniformemente a lo largo del simplex de vectores de probabilidad en $\mathbb{R}^d$. Me gustaría generar $U_i \stackrel{i.i.d.}{\sim} F, \;i=1,\dots,d$ a partir de algunos de distribución de $F$, por lo que el $(p_i) := (\frac{U_i}{\sum_{j=1}^d U_j})$ da el deseado al azar la probabilidad de vectores. Lo que debe $F$?
Respuesta
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Una distribución exponencial $f_U(u)= \lambda \, e^{-\lambda \,u}$, $u \ge 0$, con arbitraria $\lambda>0$ debería funcionar. La probabilidad conjunta
$$f_{\bf u}({\bf u})=\lambda^d \exp[-\lambda (u_1+u_2 +\cdots +u_d)]$$
es constante a lo largo de la unidad simplex. Y es también uniforme a través de cualquier simplex $u_1+u_2 +\cdots +u_d = t$. Y la operación $(p_i) := (\frac{U_i}{\sum_{j=1}^d U_j})$ equivale a una radial proyección sobre la unidad simplex, que, por la semejanza geométrica, conserva la uniformidad.
