Dejemos que $K_0=\mathbb{Q}$ y para $n>0$ definir $K_{n+1}$ como la extensión de $K_n$ que se obtiene al adosarse a $K_n$ todos los radicales de elementos en $K_n$ . Dejemos que $K$ sea la unión de los subcampos $K_n$ .
Demostrar que $K$ es una extensión de Galois de $\mathbb{Q}$ .
Por definición, $K_{n+1}/K_n$ es algebraico, por lo tanto separable ( $char\mathbb{Q}=0 )$
No sé cómo demostrar la normalidad.
Tenemos que demostrar que todo homomorfismo $\phi : K \to \overline{\mathbb{Q}}$ factores a través de $K$ (esto equivale a la normalidad). De hecho, podemos demostrar $\phi(K_n) \subseteq K_n$ por inducción en $n$ . Para $n=0$ esto está claro, y para $n \leadsto n+1$ dejar $a \in K_{n+1}$ wlog un radical de algún elemento $K_n$ es decir, hay algún $d \geq 1$ con $a^d \in K_n$ . A continuación $\phi(a)^d = \phi(a^d) \in \phi(K_n) \subseteq K_n$ y por lo tanto $\phi(a) \in K_{n+1}$ .
Por cierto, el principal resultado de la teoría de Galois implica que $K$ es el compositum de todas las extensiones de Galois finitas solubles de $\mathbb{Q}$ (es decir, las que tienen un grupo de Galois soluble), a veces denotadas por $\mathbb{Q}^{\mathrm{solv}}$ . Ver MO/4379 para obtener información al respecto. De ello se desprende que $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}^\mathrm{solv}/\mathbb{Q})$ es el cociente máximo pro-soluble de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ . Me pregunto si este grupo profinitario ha sido clasificado.
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