Encuentra el valor máximo de la fracción

Question

Dejemos que $a$ y $b$ sean números enteros positivos que satisfagan $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$ . El valor máximo posible de $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$ es $\frac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos relativamente primos. Encontrar $p+q$ .

El ensayo y error hace que el trabajo sea muy fácil, pero no es riguroso.

He utilizado el factoring:

$$= \frac{(ab + 1)(a^2b^2 - ab + 1)}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} < \frac{3}{2} \cdot \bigg( \frac{a^2b^2 -ab + 1}{a^2 -ab + b^2} \bigg)$$

Pero eso tampoco te lleva a ninguna parte.

Sólo sugerencias, por favor.

Answer 1

Intenta manipular la primera desigualdad para definir $a$ en términos de $b$ (o viceversa)

$$ \frac{ab+1}{a+b} < \frac{3}{2} \Rightarrow 2ab+2 < 3a+3b$$ $$ \Rightarrow 2ab - 3a < 3b-2 $$ $$ \Rightarrow a < \frac{3b-2}{2b-3}$$

Tenga en cuenta que si $a=1$ entonces la segunda fracción que implica $a$ y $b$ se convertiría en $$ \frac{(1)^3b^3+1}{(1)^3+b^3} = \frac{b^3+1}{b^3+1} = 1$$

Del mismo modo, si $b=1$ esta segunda fracción se convertiría en $$ \frac{a^3(1)^3+1}{a^3+(1)^3} = \frac{a^3+1}{a^3+1} = 1$$

Excluyamos estas posibilidades para $a$ y $b$ porque no ofrecen mucha información útil para encontrar un límite máximo. Entonces, como $a$ y $b$ son ambos enteros positivos, podemos establecer una nueva desigualdad para $a > 2$ utilizando el valor de $a$ que definimos en términos de $b$

$$ \frac{3b-2}{2b-3} > 2$$

Como queremos $b > 1$ podemos multiplicar ambos lados por $2b-3$ para simplificar

\begin {align*} \frac {3b-2}{2b-3} \cdot (2b-3) &> 2 \cdot (2b-3) \\ 3b-2 &> 4b-6 \\ \Rightarrow b < 4 \end {align*}

Como has dicho "sólo consejos", te dejaré el resto a ti. Avísame si quieres más ayuda.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, suponemos que $a\leq b$ . Desde $a=2\left(\frac{ab}{2b}\right)\leq2\left(\frac{ab}{a+b}\right)< 2\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)<3$ tenemos $a=1$ o $a=2$ . Si $a=1$ entonces $b$ puede ser cualquier número natural y $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}=1$ . Si $a=2$ entonces $\frac{2b+1}{b+2}=\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$ da $4b+2<3b+6$ o $b<4$ . El resto es sólo comprobar con $(a,b)\in\big\{(2,2),(2,3)\big\}$ .