Normal subgrupos de gratis grupos: finitely generadas $\implies$ finito índice.

Question

Estoy mirando lo que debería ser un simple ejercicio geométrico teoría de grupos. He reducido el problema que acaba de completar un ejercicio de Hatcher, Sección 1.B página 87:

7. Si $F$ es un finitely libres generados por el grupo y $N$ es un trivial normal subgrupo de infinito índice, muestra, utilizando cubriendo espacios, que $N$ no es finitely generado.

Un finitely libres generados por el grupo puede ser comprendido como el grupo fundamental de una cuña de círculos, de modo que parece que yo debería de estar buscando en la cubierta del espacio de este ramo inducida por el infinito-índice normal de los subgrupos $N$. Ya que es un subgrupo normal, sé que el grupo de la cubierta de las transformaciones de mis cubrir el espacio es naturalmente isomorfo a un subgrupo de sí mismo. Suponiendo que $N$ es finitely generado, me gustaría levantar la generación de bucles a la cobertura de espacio, voy a conseguir, porque de lo infinito-índice, bucles de partida en todas las fibras de mi punto de base. Me gustaría de este para conseguir que el grupo de la cubierta de transformaciones es finitely generado, pero no puedo ver.

Answer 1

El argumento que me gustaría proponer es la siguiente:

Revisión de una cuña de círculos que representan a la libre grupo F. Considerar la cubierta del espacio X que representa el normal subgrupo N. Este es un habitual de cubrir el espacio, lo que implica que el cociente grupo F/N actúa transitivamente sobre X.

Como N es finitely generado, entonces, la cubierta del espacio X que es un infinito gráfica tiene la siguiente estructura: después de droping un número finito infinito de los árboles, podemos obtener un compacto subgrafo C cuyo grupo fundamental es N.

Desde F/N es infinito y actos transtively acción en X, se sigue que C tiene que ser un árbol. De modo que X será también un árbol, que tiene el trivial grupo fundamental. Esta es la contradicción.

N. B. el cubrimiento con finitely generado grupo fundamental no tiene que ser compacto.

Answer 2

Vamos$$X = \bigvee_{i=1}^n S_i^1,$$the wedge sum of $n$ circles. Then $\pi_1(X) = F$. Let $X_N$ be the covering space corresponding to $N \unlhd F$. Note that $p: X_N \a X$ is normal. Assume, for the sake of contradiction, that $\pi_1(X_N)$ is finitely generated by $m$ elementos.

Desde que el índice de $N$ es infinito, $X_N$ debe cubrir $X$ por infinidad de hojas. Por lo $X_N$ se compone de un árbol infinito junto con $m$ bucles $e_1, e_2, \dots, e_m$. (El árbol infinito da la necesaria hojas y el $m$ bucles de generar el grupo fundamental.)

Deje $\widetilde{\gamma}$ ser un camino de $X_N$ $x_0^N \in X_N$ $p(\widetilde{\gamma}) = \gamma$ un trivial camino de $X$. Ya que la cobertura es normal, existe una cubierta de transformación de la cartografía $x_0^N$ a cualquier otro preimagen en$p$$x_0 \in X$. (Por qué?) Deje $X_1^N$ ser un vértice en $p^{-1}(x_0)$ más alejados (el uso de la noción de "altura" en la página 85 de Hatcher) de la $e_i$$x_0^N$. Entonces existe una baraja de transformación de $f: X_N \to X_N$$f(x_0^N) = x_1^N$. Pero $f(\widetilde{\gamma})$ contiene más bordes que son bucles en $X$$X_N$$\widetilde{\gamma}$, y por lo $f$ no puede ser una cubierta de isomorfismo. Esto contradice la definición de una baraja de transformación.

Por lo tanto, $N$ no es finitely generado.