La prueba de que Riemann-Roch Espacio es un Espacio Vectorial

Question

Estoy teniendo algunos Problemas con un contraejemplo, mostrando que $L(D)$ no es un espacio vectorial.

Imagínese $D=-(Q)+2(\infty)$. Entonces $$L(D)=\{f\in K(C)^*: \mbox{div}(f)-(Q)+2(\infty)\geq 0\}\cup \{0\}$$ así que toma (en una dimensión) $f=(X-P)\cdot(X-Q)$, lo $\mathrm{div}(f)= (P)+(Q)-2(\infty)\in L(D)$ y $$-f=-(X-P)\cdot(X-Q)\in L(D)$$ desde $$\mathrm{div}(-f)= (P)+(Q)-2(\infty). $$ Ahora si me tome $f+ -f=0$ I get $\mathrm{div}(0)=0$, lo $f + -f$ no $L(D)$.

Donde está mi error???

Answer 1

Está escrito específicamente en la definición de $L(D)$ que $0 \in L(D)$! Intuitivamente, si $D = \sum a_i P_i$ $a_i \geq 0$ (sólo para la conveniencia de explicación; el caso general es manejado por considerar los pedidos de fuga), usted debe pensar en la $L(D)$ como el espacio de todas las funciones racionales que tienen los polos no es peor que la orden de $a_i$$P_i$. Desde el cero de la función no tiene polos (y, para el caso general, también se desvanece en todas partes arbitrarias de orden superior), que debe ser incluida en todos los $L(D)$ espacio. Debido a $\text{div}(0)$ no está bien definida (en particular, la declaración de $\text{div}(0) = 0$ es falso), $0$ debe ser incluido en $L(D)$, por definición.