Se me pide que encuentre un $\Bbb{Z}$ -base para el ideal de $\Bbb{Z}[\sqrt{-5}]$ dado por $\left< 2, 1 +\sqrt{-5} \right>$ . Debo estar perdiendo algo porque ambos son enteros en $\Bbb{Z}[\sqrt{-5}]$ son generadores, por lo que ¿no constituyen ya una base entera del ideal?
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Andreas Caranti
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Es cierto que $2, 1 + \sqrt{-5}$ son un $\Bbb{Z}$ -base del ideal $$I = \left< 2, 1 + \sqrt{-5} \right>,$$ pero esto requiere una prueba.
Yo doy una aquí, pero la prueba de Thomas Andrews en su comentario es más sencilla.
Considere el conjunto $$ J = \{ 2 a + (1 + \sqrt{-5}) b : a, b \in \Bbb{Z} \} \subseteq I. $$ Quiere demostrar que $J$ es un ideal de $\Bbb{Z}[\sqrt{-5}]$ y así $J = I$ . Para ello, calcula $$ \begin{align} (2 a + (1 + \sqrt{-5}) b) \cdot \sqrt{-5} &= 2 a \sqrt{-5} + (\sqrt{-5} - 5) b \\&= - 5 b + (2 a + b) \cdot \sqrt{-5} \\&= 2 (- a - 3 b) + (1 + \sqrt{-5} )(2 a + b) \in J. \end{align}$$
Entonces tal vez sea seguro señalar que $0 = 2 a + (1 + \sqrt{-5}) b = (2 a + b) + b \sqrt{-5}$ si y sólo si $b = a = 0$ .
PS Por poner otro ejemplo, que indica que sí es necesaria una prueba, si se considera el ideal $$ I' = \left\langle 2, \sqrt{-5} \right\rangle, $$ tenemos $- 5 = \sqrt{-5} \cdot \sqrt{-5} \in I'$ pero $-5$ no es un $\Bbb{Z}$ -combinación lineal de $2$ y $\sqrt{-5}$ .
Math Gems
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Hay un criterio sencillo que utiliza las normas para comprobar si esos módulos son ideales. Si $\rm\:M = [a,b\!+\!\sqrt{d}]\:$ es un ideal entonces contiene la norma $\rm\: N(b\!+\!\sqrt{d}) = (b\!+\!\sqrt{d})(b\!-\!\sqrt{d}) = b^2\!-\!d,\ $ así que $\rm\,\ a\mid b^2\!-\!d.\:$ Esta condición necesaria es también suficiente. La prueba es fácil:
El módulo $\rm\:M = [a,b\!+\!\sqrt{d}]\:$ es un ideal de $\rm\,R = \Bbb Z[\sqrt{d}]\iff$ M es cerrado bajo la multiplicación por elementos de $\rm\,R\iff$ $\rm\sqrt{d}\ M \subseteq M\iff a\sqrt{d},\, (b\!+\!\sqrt{d})\sqrt{d} \in M.\:$ La primera inclusión es clara ya que $\rm\:a\sqrt{d}\, =\, a(b\!+\!\sqrt{d})-ab\in M.\:$ Para la segunda inclusión
$$\rm\begin{eqnarray} -(b\!+\!\sqrt{d})\sqrt{d} &=\,&\rm (b\!+\!\sqrt{d})(b\!-\!\sqrt{d})-b(b\!+\!\sqrt{d})\\ &=\,&\rm b^2\!-d -b(b\!+\!\sqrt{d})\end{eqnarray}$$
La prioridad es $\rm\,\in\, M = [a,b\!+\!\sqrt{d}]\iff a\mid b^2\!-\!d = N(b\!+\!\sqrt{d})\:$ donde $\rm\:N = $ la norma.
Esto es cierto para $\rm\,[2,1\!+\!\sqrt{-5}],\ $ es decir $\rm\:2\mid N(1\!+\!\sqrt{-5}) = (1\!+\!\sqrt{-5})(1\!-\!\sqrt{-5}) = 1\!+\!5 = 6.$
El criterio se generaliza para comprobar la idealidad del módulo $\rm\,[a,b\!+\!c\,\omega]\,$ en el anillo de enteros de un campo numérico cuadrático, por ejemplo, véase sección 2.3 en las notas de Franz Lemmermeyer.
Se trata de un caso especial del módulo formas normales que se generalizan a campos numéricos de mayor grado, por ejemplo, véase la discusión sobre las formas normales de Hermite y Smith en la obra de Henri Cohen $ $ Curso de teoría de números computacional .
