De Bernoulli de la Desigualdad de la prueba de $x\ge -1/6$

Question

$$\sqrt{1+6x}\le(1+x)^3$$

Entendí que el AM es siempre mayor o igual que el GM cosa pero era para todos los valores superiores a $0$. Esto doesnt como va a ser resueltos de la misma manera. Hacemos uso de Cauchy-Schwarz o el AM-GM para esto? No olvides el título por el valor de $x$.

Answer 1

Para $0\leq\alpha\leq 1$ el gráfico de $\gamma$ de la función de $b_\alpha(y):=(1+y)^\alpha$ es cóncava, ya que $$b_\alpha''(y)=\alpha(\alpha-1)(1+y)^{\alpha-2}\leq0\qquad(y\geq-1)\ .$$ It follows that $\gamma$ is for all $s\geq-1$ below its tangent at $(0,1)\en\gamma$. De esta manera se obtiene la desigualdad de Bernoulli $$(1+y)^\alpha\leq 1+\alpha y\qquad(y\geq-1, \ 0\leq \alpha\leq1)\ .$$

Con $y:=6x$ $\alpha:={1\over6}$ nosotros a la vez obtener la reclamación.

Answer 2

La diferenciación $RHS-LHS$ da

$$3(x+1)^2-\frac{3}{\sqrt{6x+1}}$$

que ha $0$ como su única raíz real, por lo que el mínimo de la diferencia se produce en $x=0$, donde es $0$.

Por lo tanto, la desigualdad se cumple cuando ambas $LHS$ $RHS$ son definidos, los cuales se $x\ge-\frac{1}{6}$.

Answer 3

De Bernoulli de la desigualdad: Vamos a $t\ge -1$ ser un número real, y $n$ un entero no negativo. Entonces $$(1+t)^n\ge 1+nt.$$

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Vamos a usar $1+3x$ como un trampolín.

La desigualdad de Bernoulli ($n=3$, $t=x$) da $$(1+x)^3\ge 1+3x$$ para todos los $x\ge-1$.

También ($n=2$, $t=3x$) $$(1+3x)^2\ge 1+6x$$ siempre que $3x\ge-1$ o, de manera equivalente, cuando $x\ge-1/3$.

Usted puede tomar la raíz cuadrada de la última desigualdad, si dos de ellos son no-negativos (observar el rango de $x$ a la final).

Y, a continuación, puede conectar los puntos.