Martingala que no es un proceso de Markov

Question

1. En internet, se sugiere que $$ X_t=\left(\int_0^t X_s \;ds\right)\;dW_{t} $$ es una martingala, pero no es un proceso de Markov. Yo entiendo que el proceso $$ I_t(C)=\int_0^t C_s \; dW_s$$ es una martingala, pero no veo a $X_t$ Ito integral. Con el fin de demostrar que es una martingala, pero no un proceso de Markov, quiero mostrar que $$ E(X_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=X_{t-1}\neq E(X_t\mid\sigma(X_{t-1})). $$ No sé cómo tomar la expecation en este caso.

Otros contraejemplos disponible en línea podría estar equivocado. (O, podría ser malo.)

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2. No válido contraejemplo: Vamos a $e(t)$ ser una variable aleatoria que no es independiente de $y(0)$ y $$ y(t)=y(t-1)+e(t)-E{[}e(t)|F(t-1){]}. $$ Entonces y(t) es una martingala, pero no es un proceso de Markov.

Voy a mostrar que es una martingala y un proceso de Markov. Definir $X_{t}$ $$ X_{t}=X_{t-1}+e_{t}-E\left(e_{t}|\mathcal{F}_{t-1}\right) $$

A continuación, $\{X_{t}\}$ es una martingala porque $$ E(X_{t}|\mathcal{F}_{t-1}) = E\left(X_{t-1}+e_{t}-E\left(e_{t}|\mathcal{F}_{t-1}\right)\bigg|\mathcal{F}_{t-1}\right) = E(X_{t-1}|\mathcal{F}_{t-1})+E\left(e_{t}|\mathcal{F}_{t-1}\right)-E\left(e_{t}|\mathcal{F}_{t-1}\right) = E(X_{t-1}|\mathcal{F}_{t-1}) = X_{t-1} $$

Sin embargo, también es un proceso de Markov. $$ E(X_{t}|\sigma(X_{t-1})) = E\left(X_{t-1}+e_{t}-E\left(e_{t}|\mathcal{F}_{t-1}\right)\bigg|\sigma(X_{t-1})\right) = E(X_{t-1}|\sigma(X_{t-1}))+E\left(e_{t}|\sigma(X_{t-1})\right)-E\left(E\left(e_{t}|\mathcal{F}_{t-1}\right)\bigg|\sigma(X_{t-1})\right) $$

Desde $\sigma(X_{t-1})\subset\mathcal{F}_{t-1}$, por el imponente propiedad, $$ E\left(\left(e_{t}|\mathcal{F}_{t-1}\right)\bigg|\sigma(X_{t-1})\right)=E\left(e_{t}|\sigma(X_{t-1})\right). $$

Así $$E(X_{t}|\sigma(X_{t-1})) = E(X_{t-1}|\sigma(X_{t-1}))+E\left(e_{t}|\sigma(X_{t-1})\right)-E\left(e_{t}|\sigma(X_{t-1})\right) = E(X_{t-1}|\sigma(X_{t-1}) $$

Desde $X_{t-1}$ $\sigma(X_{t-1})$medible, $E(X_{t-1}|\sigma(X_{t-1}))=X_{t-1}$. Por lo tanto $$ E(X_{t}|\sigma(X_{t-1}))=X_{t-1}=E(X_{t}|\mathcal{F}_{t-1}) $$ Por lo tanto $\{X_{t}\}$ es también un proceso de Markov.

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3. No válido contraejemplo de los libros de texto la clave de respuestas. Alison Etheridge del libro de texto da un ejemplo: $$ S_{n+1}=S_{n}+\xi_{n+1} $$ donde $\xi_{n}\in\{-1,1\}$ $\{\xi_{n}\}_{n\geq0}$ son iid. Entonces, $$ P\left(S_{n+1}=k+1\bigg|S_{n}=k\right)=p \text{y }P\left(S_{n+1}=k-1\bigg|S_{n}=k\right)=1-p. $$ El autor afirma que $\left\{ S_{n}\right\} $ es un proceso de Markov.

A continuación, en la tarea clave de respuesta, a alguien le da $\left\{ Z_{n}\right\}$ como un contraejemplo de una martingala no ser un proceso de Markov: $ \displaystyle{Z_{n}=\sum_{i=1}^{n}\xi_{i}} $ donde $P(\xi_{i}=1)=\frac{1}{2}=P(\xi_{i}=-1)$.

Obviamente, $Z_{n+1}=Z_{n}+\xi_{n+1}.$ ¿cuál es la diferencia entre este contraejemplo y el ejemplo? Por otra parte, dado $P(\xi_{i}=1)=\frac{1}{2}=P(\xi_{i}=-1)$, creo es tanto $\left\{ Z_{n}\right\}$ es una martingala y un proceso de Markov.

Answer 1

Hay un error generalizado en tu post, lo que puede explicar su problema, que es creer que $(X_t)_{t\geqslant0}$ ser un proceso de Markov significa que $\mathrm E(X_t\mid \mathcal F_{t-1})=\mathrm E(X_t\mid X_{t-1})$ por cada $t\geqslant1$ donde $\mathcal F_t=\sigma(X_s;0\leqslant s\leqslant t)$ por cada $t\geqslant0$.

Esta no es la definición de la propiedad de Markov. La propiedad de Markov es la suposición de que, para cada $t\geqslant1$, el condicional distribución de $X_t$ condicionalmente en $\mathcal F_{t-1}$ depende de $X_{t-1}$ solamente. Obviamente, si la distribución condicional de $X_t$ condicionalmente en $\mathcal F_{t-1}$ es la distribución condicional de $X_t$ condicionalmente en $X_{t-1}$ (Markov), entonces el mismo es cierto para el condicional expectativas (la propiedad que usted piensa que es de Markov), pero el recíproco no es cierto.

Para un contraejemplo, suponga que $(Z_t)_{t\geqslant2}$ es independiente, integrable y centrado (es decir, con una distribución normal), independiente de la $X_0$. Deje $X_1=X_0=1$ $X_t=X_{t-1}+Z_tX_{t-2}$ por cada $t\geqslant2$.

A continuación, $\mathrm E(X_t\mid \mathcal F_{t-1})=\mathrm E(X_t\mid X_{t-1})=X_{t-1}$ por cada $t\geqslant1$ (por lo tanto, si $X_0$ es integrable, $(X_t)_{t\geqslant0}$ es una martingala) sino $(X_t)_{t\geqslant0}$ no es un proceso de Markov ya que la distribución condicional de $X_t$ condicionalmente en $\mathcal F_{t-1}$ no depende de $X_{t-1}$ pero sólo en $(X_{t-1},X_{t-2})$.