Estoy tratando de intuir la estructura de los ordinales contables (en realidad, de cómo se convierten en incontables), y este tipo de preguntas, que podrían ser triviales para los teóricos de conjuntos, pueden ayudar mucho a la mente limitada de un físico. Limitémonos aquí a los ordinales contables. Si no me equivoco, el primer ordinal límite que no se puede alcanzar mediante operaciones de sucesión repetidas sobre ordinales límite es $\omega^2$ . Yo lo llamaría un ordinal límite del segundo nivel. Hay muchos ordinales límite del segundo nivel (no estoy seguro de cuál sería la definición correcta, pero supongo que la siguiente es $\omega^2$ .2, entonces $\omega^2$ .3, y así sucesivamente. (Pero no estoy seguro, tal vez después de $\omega^2$ viene $\omega^3$ ?).
Entonces, podemos definir los ordinales límite del tercer nivel como los ordinales límite que no pueden ser alcanzados por operaciones sucesoras repetidas sobre los ordinales límite del segundo nivel. Y así sucesivamente. ¿Se pueden definir entonces los ordinales límite de cualquier nivel n? o de un nivel transfinito? ¿Es una cuestión trivial?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hay ordinales sucesores; $3$ , $\omega+2$ y $\omega^2+\omega\cdot5+1$ son todos ejemplos. Si pudieras hacer un dibujo de uno de estos ordinales, terminaría en $\cdot\cdot$ .
Hay ordinales que son límites de ordinales sucesores pero no de ningún tipo de ordinal límite; $\omega$ , $\omega\cdot2$ y $\omega^{\cdot2}+\omega\cdot5$ son todos ejemplos. (Escribo $\omega^{\cdot2}$ en lugar de $\omega^2$ para enfatizar que estoy hablando de exponenciación ordinal, no de exponenciación cardinal). Una imagen de cualquiera de ellas terminaría en una secuencia de puntos $\cdot\cdot\cdot\ldots$ es decir, en una copia de $\omega$ . Llama a estos ordinales límite de tipo $1$ .
Hay ordinales que son límites del tipo $1$ ordinales pero no de ningún tipo superior; $\omega^{\cdot2}$ es efectivamente el primero de ellos. Es el límite del tipo $1$ ordinales de límite $\omega,\omega\cdot2,\omega\cdot3,\dots$ y así sucesivamente. El siguiente $\omega$ de ellos son los ordinales $\omega^{\cdot2}\cdot n$ , con el aspecto de $n$ copias de $\omega^{\cdot2}$ encadenados de extremo a extremo. Otros son $\omega^{\cdot\omega}+\omega^{\cdot2}\cdot5$ y $\omega^{\cdot4}\cdot2+\omega^{\cdot3}+\omega^{\cdot2}\cdot3$ . Llama a este tipo $2$ limitar los ordinales.
Hay ordinales que son límites del tipo $2$ ordinales pero no de ningún tipo superior; el primero de ellos es $\omega^{\cdot2}\cdot\omega=\omega^{\cdot3}$ su imagen se parece a $\omega$ copias de $\omega^{\cdot2}$ colocado de punta a punta. El siguiente es $\omega^{\cdot3}\cdot2$ y así sucesivamente.
Pero hay ordinales límite contables que no son del tipo $n$ para cualquier $n$ . La primera es $\omega^{\cdot\omega}$ que es el límite de $\omega$ , $\omega^{\cdot2}$ , $\omega^{\cdot3}$ y así sucesivamente; llámese ordinal límite de tipo $\omega$ porque realmente es el ordinal más pequeño que no es de uno de los tipos finitos. Y por supuesto el siguiente ordinal de este tipo es $\omega^{\cdot\omega}\cdot2$ dos copias de $\omega^{\cdot\omega}$ de extremo a extremo.
Y así sucesivamente, y así sucesivamente, y así sucesivamente, y $\ldots~$ . En este ad hoc hay ordinales límite contables de tipo $\alpha$ para todo ordinal contable $\alpha$ . (¡Todo es vagamente incestuoso!)
Hay muchas jerarquías que se pueden describir.
Se puede hablar de sucesores, límites de sucesores, límites de límites de sucesores, límites de límites de sucesores, etc. Esta propiedad podría describirse realmente como una Rango de Cantor-Bendixson porque cuando se trata como un espacio topológico el rango del ordinal en esta jerarquía es exactamente su rango de Cantor-Bendixson.
Si $\{\alpha_i\mid i<\omega_1\}$ es una familia cerrada e ilimitada de ordinales (donde $\alpha_0=0$ ), se puede hablar de un ordinal con rango $i$ si se encuentra en el intervalo entre $[\alpha_i,\alpha_{i+1})$ . Se puede hablar de $\varepsilon$ números , sobre ordinales admisibles , ordinales que son posibles alturas de modelos transitivos de $\sf ZFC$ y así sucesivamente.
Por ejemplo, si tomamos los ordinales admisibles, es un teorema de Sacks que $\alpha$ es un ordinal admisible contable si y sólo si es $\omega_{\beta}^{CK}$ para algunos $\beta<\omega_1$ . Entonces un ordinal $\gamma$ tener rango $\beta$ significa que $\gamma$ es un ordinal computable por un oráculo suficientemente fuerte, y nos dice cómo de fuerte debe ser este oráculo.
Pero lo que es muy importante entender es que a menudo estas jerarquías van a tener puntos fijos. Así que tienes $\alpha$ que es su propio rango. Esto le dice que $\alpha$ es alucinantemente enorme si tratas de explicar su construcción por los medios que creaste la jerarquía.
Esto realmente te dice que los ordinales contables pueden ser muy muy muy difíciles, y muy muy muy complicados.
Y por supuesto, está la última cuestión, señalada por tomasz, si $M$ es un modelo transitivo contable de $\sf ZFC$ , entonces hay algún contable $\alpha$ tal que $M$ piensa $\alpha$ es incontable, el menos tal $\alpha$ se denota por $\omega_1^M$ . En este caso podemos añadir una cierta biyección de $\alpha$ y $\omega$ a $M$ y generar un nuevo modelo transitivo contable - $N$ que tiene la misma colección de ordinales, pero en $N$ el ordinal $\alpha$ es contable. Así que la noción de ser $\omega_1$ de un modelo transitivo contable de $\sf ZFC$ no es absoluto, y diferentes modelos ven diferentes ordinales como su [interno] $\omega_1$ .
Todo el párrafo anterior es un enorme galimatías técnico que te dice una sola cosa, no se puede probar mucho sobre $\omega_1$ desde "abajo", o desde "dentro", en el sentido de que no realmente tener una medida absoluta de cuántos ordinales están por debajo de $\omega_1$ . (Y si uno mete en el juego a los grandes cardenales, las cosas se complican aún más fácilmente).
Es bastante trivial. Se puede demostrar por inducción que esos "ordinales límite de n-ésimo nivel" son sólo múltiplos de $\omega^n$ y esto se generaliza al infinito $n$ de forma natural.
Tal vez sea interesante (o perspicaz) para usted, hay ordinales contables $\alpha$ tal que $\omega^\alpha=\alpha$ (esto se debe a que la exponenciación es una funcionamiento normal ). El ordinal más pequeño se llama $\varepsilon_0$ y esta noción puede generalizarse para producir la llamada jerarquía épsilon (véase la Artículo de Wikipedia sobre $\varepsilon_0$ ).
Por lo que veo, no se puede ver realmente cómo los ordinales se vuelven incontables -- simplemente lo son, en algún momento, y la incontabilidad de un ordinal no es inherente en el sentido de que podemos tener dos modelos (transitivos) de ZFC con los mismos ordinales, y, sin embargo, tener ordinales que son muy incontables en uno de los modelos, al mismo tiempo que son realmente contables en el otro (esta es una de las construcciones de forzamiento más básicas), por lo que realmente no se puede esperar una manera de ver ordinales incontables sin un uso más o menos explícito de la cardinalidad.
