Pregunta sobre la curva elíptica

Question

Dejemos que $P$ sea un punto de una curva elíptica sobre $\mathbb{R}$ . Diga una condición geométrica que sea equivalente a que P sea un punto de orden (a) $2$ , (b) $3 $ , (c) $ 4$ .

¿Podría alguien explicarme esto en términos de tontos? :) Tengo un examen la semana que viene y el profesor me ha insinuado que puede surgir una pregunta similar a esta. Gracias por adelantado.

Answer 1

Esto puede ayudar. Deje que $E/\mathbb{Q}$ sea una curva elíptica con puntos $P$ , $Q$ y $R$ , de tal manera que $P$ es de orden $2$ , $Q$ es de orden $3$ y $R$ es de orden $4$ . Ahora:

• Parcela $P$ y tratar de encontrar $2P$ geométricamente (es decir, mostrar gráficamente que $2P=\mathcal{O}$ ).
• Parcela $Q$ , encontrar $2Q$ geométricamente, trazarlo, y luego tratar de encontrar $3Q$ (y tratar de entender por qué $3Q=\mathcal{O}$ ).
• Parcela $R$ , encontrar $2R$ , $3R$ y tratar de encontrar $4R$ geométricamente.

Para empezar, he aquí una curva de este tipo $E: y^2 = x^3 - 157707x + 78888006$ con $$P=(-549,0),\quad Q=(27,8640),\quad \text{and} \quad R=(315,-7776).$$ Si utiliza Sage, entonces puede trazar $E$ así:

E=Curva elíptica([- 157707, 78888006]);

parcela(E);

Comprender la geometría de los puntos de orden $2$ y $3$ puede ser más fácil en $E:y^2=x^3+1$ , donde $S=(2,3)$ tiene orden $6$ .