Encontrar los extremos de $f(x, y) = x - x^2 - xy^2$ con restricciones $\{(x, y) : x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0\}$ ?

Question

Sé que es un poco corto ,

Pero no tengo ni idea de cómo resolver esta cuestión

Me alegraría mucho si me pudieran ayudar a resolverlo.

Función dada $f(x, y) = x - x^2 - xy^2$ y necesito encontrar su valor mínimo y máximo en el dominio $D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0\}$ .

¿Cómo puedo solucionarlo?

¿Está relacionado de algún modo con los multiplicadores de Lagrange?

Answer 1

No es necesario que utilices los multiplicadores de Lagrange, aunque deberías repetir este ejercicio para duplicar la respuesta utilizando ese enfoque.

Se nos da:

$$f(x, y) = x - x^2 - xy^2, ~~D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0\}$$

Necesitamos encontrar todos los Puntos Críticos (PC) candidatos.

• CP interiores:

$$f_x = 1-2x -y^2 = 0, f_y = -2xy = 0 \rightarrow (x,y) = \left(\dfrac{1}{2},0\right), (0, 1), (0, -1)$$

• CP fronterizos:

$$D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 4\} \rightarrow y \le \pm~\sqrt{4-x^2}\mbox{with endpoints}(x,y) = (0, \pm~ 2)$$

• $f(x,y)$ se convierte en $$f = x-x^2-xy^2 = x-x^2-x(4-x^2) = 0 \rightarrow x = \dfrac{1}{3}(1 \pm ~ 10)$$

Rechazamos la negativa $x$ debido a la restricción de que $x \ge 0$ Así que $y = \pm~ \sqrt{4-x^2} = \pm ~ 1.4405$ .

Así, tenemos los siete puntos críticos que hay que comprobar introduciéndolos $f(x, y)$ . Para los cuatro puntos en los que $x = 0$ el valor de la función es igual a cero, por lo que sólo tenemos que comprobar los otros tres puntos.

Encontramos:

• Máximo global en $(x, y) = \left(\dfrac{1}{2},0\right)$ es decir $\dfrac{1}{4}$ .
• Mínimo global en $(x, y) = (1.38743, -1.4405)$ y $(1.38743, 1.4405)$ es decir $-3.4165$ .

Answer 2

En el interior del semicírculo, utilice la prueba habitual, es decir, usted quiere $Df(x,y)=0$ . En el límite, hay que maximizar o minimizar una función de una variable: o bien establecer $x=0$ o $x^2+y^2=4$ y sustituir.