$\epsilon-\delta$ prueba de límite

Question

Usando la definición epsilon delta de los límites demostrar: $$\lim\limits_{x \to -1} \frac{x^4+x+1}{x^3}=-1.$$

Me las he arreglado para conseguir $$\left|{\frac{x^4+x+1}{x^3}}+1\right| = \frac{\vert x+1\vert^2\vert x^2-x+1 \vert}{|x|^3}$$ que es un paso más cerca creo que ya que tengo el factor $(x+1)$ que puedo controlar. Y también puedo limitar el otro factor del numerador.

Pero el $x^3$ en el denominador es mi problema porque si limito $(x+1)$ parece crecer. No sé qué hacer con él.

Answer 1

Pista. Tenga en cuenta que si $x\to -1$ podemos suponer que $1/2\leq |x|\leq 2$ (toma $\delta\leq 1/2$ ) que implica $$0<\frac{1}{|x|^3}\leq 8\quad \mbox{and}\quad |x^2-x+1|\leq |x|^2+|x|+1\leq 7.$$