Demostrando $a^ab^bc^c\ge(abc)^{(a+b+c)/3}$ para los números reales positivos.

Question

Demostrar que

$$a^ab^bc^c\ge(abc)^{(a+b+c)/3}$$

donde $a,b,c\in\mathbb{R^+}$

He intentado utilizar powered AM-GM pero no obtendrá nada. por favor, dame una pista para resolverlo.

Answer 1

Desde $\log(x)$ es monótonamente creciente, tenemos $$(a-b)(\log(a)-\log(b))\ge0\\ (c-a)(\log(c)-\log(a))\ge0\\ (b-c)(\log(b)-\log(c))\ge0\\ $$ Añadir estos y $$(a\log(a)+b\log(b)+c\log(c))-(a\log(a)+b\log(b)+c\log(c))\ge0$$ para obtener $$3(a\log(a)+b\log(b)+c\log(c))-(a+b+c)(\log(a)+\log(b)+\log(c))\ge0$$ Dividir por $3$ y exponentiate para obtener $$^ab^ac^c\ge(abc)^{\frac{a+b+c}3}$$

Answer 2

$$a^ab^bc^c\ge{(abc)^\frac{a+b+c}{3}} \stackrel{\log (\cdot)}{\iff} a\log a+b\log b+c\log c \geq (\log a+\log b+\log c)\cdot \frac{a+b+c}{3}$$

Usted puede utilizar de Chebyshev de la suma de la desigualdad para terminarlo.

Answer 3

Tomar la $\log$ de ambos lados. Esto es equivalente a: $$un\log a + b\log b + c\log c \ge \frac{a+b+c}3 (\log a + \log b + \log c)$$

ahora uso el reordenamiento de la desigualdad de dos veces para obtener:

$$un\log a + b\log b + c\log c \ge b\log a + c\log b + a\log c ;\\ un\log a + b\log b + c\log c \ge c\log a + a\log b + b\log c;\\ un\log a + b\log b + c\log c = a\log a + b\log b + c\log c.$$ La suma de estas desigualdades es el resultado correcto.

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Alternativa:

$$\frac{a+b+c}3 \frac{\log a + \log b + \log c}3 \le \frac{a+b+c}3 \log \frac{a+b+c}3$$ using the concavity of $\log$; $$\le \frac{a\log a + b\log b + c\log c }3$$ using convexity of $x\x\log x$.