Ultrafiltros en $\omega$ y densidad inferior/superior

Question

(Demuestre que)Si $\mathscr{U}$ es un ultrafiltro en $\omega$ entonces $\mathscr{U}$ contiene un subconjunto $A$ de menor densidad cero. (Pero) hay un ultrafiltro en $\omega$ de manera que cada $A \in \mathscr{U}$ tiene una densidad superior positiva.

Este es un ejercicio sobre página 76 de Problemas y teoremas de la teoría clásica de conjuntos Peter Komjath, Vilmos Totik. No tengo ni idea de cómo empezar.

Answer 1

La primera pregunta (Nr. $6$ en el libro), se desprende inmediatamente de Nr. $5$ :

Si $\mathscr{U}$ es un ultrafiltro en $\omega$ y $0=n_0<n_1<\dots$ son números naturales arbitrarios, entonces existe un $A\in\mathscr{U}$ con $A\cap[n_i,n_{i+1})=\varnothing$ para un número infinito de $i<\omega$ .

Para $k>0$ tomar $n_k=k!$ digamos. Para demostrar el resultado en Nr. $5$ , dejemos que $\langle n_k:k\in\omega\rangle$ sea tal que $0=n_0<n_1<\dots~$ . Sea $$A=\bigcup_{k<\omega}[n_{2k},n_{2k+1})\;;$$ claramente $$\omega\setminus A=\bigcup_{k<\omega}[n_{2k+1},n_{2k+2})\;.$$ Ambos $A$ y $\omega\setminus A$ tienen intersección vacía con infinitos intervalos $[n_k,n_{k+1})$ y como $\mathscr{U}$ es un ultrafiltro, uno de $A$ y $\omega\setminus A$ está en $\mathscr{U}$ .

Para la segunda pregunta, dejemos $\mathscr{I}=\{A\subseteq\omega:\overline{d}(A)=0\}$ , donde $\overline d$ es la densidad superior. No es difícil comprobar que $\mathscr{I}$ es un ideal, por lo que $\mathscr{F}=\{\omega\setminus A:A\in\mathscr{I}\}$ es un filtro en $\omega$ . Ahora deja que $\mathscr{U}$ sea cualquier ultrafiltro que contenga $\mathscr{F}$ .