Qué $A^i \cap A^j = \emptyset,$ si $i \neq j$?

Question

Me estoy haciendo un poco de teoría de conjuntos y, por supuesto, estoy confundido.

¿Qué tan cierto es que si tenemos una serie de productos cartesianos de un conjunto, decir $A^n, n< \omega$, entonces necesariamente tiene que $A^i \cap A^j = \emptyset,$ si $i \neq j$?

Yo soy una especie de imaginar que si dicen, $a \in A^2$, $a = (\alpha, \beta)$ tiene la forma $\{\{\alpha\}, \{\alpha, \beta\}\}$

Si lo comparamos con algo como $A = \{\{\alpha\}, \{\beta\}, \{\gamma\}...\}$, entonces es claro que no tienen elementos en común.

¿Esta presionado el agua?

El muy loco, la cosa es que me han dicho siempre que $\Bbb R \subset \Bbb R^2$, y así su intersección no vacía, entonces ¿por qué parece como el razonamiento anterior se mantiene?

Gracias de antemano.

Answer 1

Hay un par de cosas a destacar aquí.

1. A menudo es más fácil definir $A^n$ como el conjunto de funciones de $n$ a $A$, en lugar de repetirse productos Cartesianos. La razón es que de esta manera podemos extender esta noción a conjuntos infinitos, no sólo finito de conjuntos.

   Por no hablar de que hay diferentes maneras de codificar los pares ordenados, que puede afectar a los siguientes en bastante forma sustancial.

2. Considere la posibilidad de $V_\omega$, el cual es definido de la siguiente manera, $V_0=\varnothing, V_{n+1}=\mathcal P(V_n), V_\omega=\bigcup_{n\in\omega}V_n$. Entonces no es difícil mostrar que para cada $n\in\omega$ tenemos que $V_\omega^n\subseteq V_\omega$,$V_\omega\times V_\omega\subseteq V_\omega$.

   Pero aquí viene el trampolín, si consideras $V_\omega^n$ como funciones de $n$ a $V_\omega$ $n\neq k$ tenemos que $V_\omega^n\cap V_\omega^k=\varnothing$, ya que los elementos de estos conjuntos de funciones con dominios diferentes. Por otro lado, si se tiene en cuenta esto, como se repite productos Cartesianos, a continuación, $V_\omega^n\subseteq V_\omega^k$ siempre $0<k\leq n$.

3. Con respecto a $\Bbb{R\subseteq R^2}$, este es otro tema delicado. Usted puede comenzar a salir con un objeto llamado $\Bbb R^2$ y, a continuación, defina $\Bbb R$ como un subconjunto de ese objeto. Usted puede hacer eso, y, a continuación, la inclusión de las suspensiones. O usted puede definir $\Bbb R$ y, a continuación, tome $\Bbb R^2$, y dependiendo del conjunto teórico de decisiones, el resultado puede o no satisfacer ciertas inclusiones.

   Pero a final de cuentas no importa. A veces es fácil pensar acerca de $\Bbb R$ como un subconjunto del plano, así que elegir una de las muchas maneras para incrustar $\Bbb R$ en el avión, y redefinir $\Bbb R$ como la copia. En otras ocasiones, es más fácil pensar en ellos como algo totalmente distinto (por ejemplo, cuando queremos afirmar que los números reales y los puntos en el plano, o vectores en general, no son el mismo tipo de objeto).

   Así que esto es realmente acerca de lo que quieren hacer con sus objetos, y el hecho de que, en última instancia, esto no importa ya que la definición puede ir de aquí para allá o de allá para acá. Lo mismo vale si consideras $\Bbb N\subseteq\Bbb R$ o no, si se definen $\Bbb R$ el uso de Dedekind cortes este es sin duda falsa, pero podemos identificar los números naturales y redefinir ese símbolo significa algún subconjunto particular de $\Bbb R$. Si decidimos hacerlo, de todos modos.

Answer 2

Considere la posibilidad de $A= \{a,b, (a,b)\}$. A continuación,$(a,b) \in A \cap A^2$.