$T=-T^{*}$ , demuestran que $T+\alpha I$ es invertible.

Question

Por favor, no respondas a la pregunta. Sólo dígame si estoy en la dirección correcta. Debería ser capaz de resolver esto.

Se nos da $T=-T^{*}$ , demuestran que $T+\alpha I$ es invertido para todas las alfas reales que no son cero.

Lo que hice:

$det(T+\alpha I) = det(-T^{*}+\alpha I)=det(-\bar T+\alpha I) = \overline {det(-T+\alpha I)}$

Y aquí estoy bastante atascado. ¿Estoy en la dirección correcta?

Answer 1

Desde $T=-T^*$ tenemos para cualquier $x\in\mathbb{C}^n$ que $\mathrm{Re}(x^*Tx)=0$ . Supongamos que $\alpha I+T$ (con un $\alpha\neq 0$ ) es singular, es decir, existe un $y\in\mathbb{C}^n$ tal que $(\alpha I + T)y=0$ y por lo tanto $\alpha y=-Ty$ . Multiplicar con $y^*$ da $\alpha y^*y=-y^*Ty$ . Obtenemos una contradicción, ya que $\alpha y^*y$ es real y distinto de cero, mientras que $\mathrm{Re}(y^*Ty)=0$ .

Answer 2

El comentario de copper.hat ha dado en el clavo, en mi opinión.

Mientras $T^*$ es tal que $\langle Tu, v \rangle = \langle u, T^*v \rangle$ (ver las observaciones de Oria Gruber en los comentarios), tenemos que $\langle x, Tx \rangle$ es puramente imaginario para todos los vectores $x$ ya que

$\langle x, Tx \rangle^* = \langle Tx, x \rangle = \langle x, T^*x \rangle = -\langle x, Tx \rangle, \tag{1}$

en el que los elevados $*$ significa conjugación compleja cuando se aplica a los números, como en $\langle x, Tx \rangle^*$ que se produce a la izquierda de la ecuación (1), y la operación ${} ^*$ que lleva $T \to T^*$ cuando se aplica a operadores como $T$ . En cualquier caso, esto significa que los valores propios de $T$ son puramente imaginarios, ya que si tenemos

$Tv = \lambda v \tag{2}$

con $\Vert v \Vert = \langle v, v \rangle^{1/2}= 1$ entonces

$\lambda = \lambda \Vert v \Vert = \lambda \langle v, v \rangle = \langle v, \lambda v \rangle = \langle v, Tv \rangle. \tag{3}$

Ahora utilizamos el hecho salutífero de que, para cualquier escalar $\alpha$ ,

$Tv = \lambda v \Leftrightarrow (T + \alpha I)v = (\lambda + \alpha)v; \tag{4}$

ya que como hemos visto los valores propios de $T$ son puramente imaginarios, por (4) los de $T + \alpha I$ de verdad $\alpha \ne 0$ todos tienen parte real no evanescente; por lo tanto, ninguno puede ser cero; por lo tanto $T + \alpha I$ es no singular y, por tanto, invertible. QED.

Espero que esto ayude. Mis mejores deseos para el nuevo año,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!