Se puede resolver esta integral con el teorema de los residuos

Question

¿Cómo se puede calcular $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x }{e^x + e^{-x}} dx$$

Answer 1

Utilizar el teorema de los residuos, considere la posibilidad de

$$\oint_C dz \frac{e^{i z}}{\cosh{z}}$$

donde $C$ es un contorno semicircular en la mitad superior del plano, a lo largo del eje real. La idea es mostrar que la integral alrededor de la pieza semicircular que va al infinito va a cero, que de hecho lo hace. (Os dejo una prueba para el lector.) Lo que queda es

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\cos{x}}{\cosh{x}}$$

que es $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos de los polos de el integrando dentro de $C$. Tenga en cuenta que hay polos en $z=i (n+1/2) \pi \;\; \forall n \ge 1$, $n \in \mathbb{N}$. El residuo en la pole $z=i (n+1/2) \pi$$-i (-1)^n e^{-(n+1/2) \pi}$. Por lo tanto:

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\cos{x}}{\cosh{x}} = 2 \pi \sum_{n=0}^{\infty} e^{-(n+1/2) \pi} = 2 \pi e^{-\pi/2} \frac{1}{1+e^{-\pi}} = \pi\, \text{sech}{\frac{\pi}{2}}$$

Por lo tanto, la declaró integral es

$$\int_{-\infty}^\infty dx\: \frac{\cos x }{e^x + e^{-x}} = \frac{\pi}{2} \text{sech}{\frac{\pi}{2}}$$

Answer 2

Considere la posibilidad de

$$f(x) := \frac{2 e^{ix}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{ix}}{\cosh x}$$

de manera que la mitad de la integral de la parte real de la función es la que está en cuestión. Además considerar el contorno de $C$ que es un rectángulo con vértices $-R, R, \frac{i\pi}{2}+R$$i-R$. Dejando $R \to \infty$, el de las integrales a lo largo de $R$ $R+i\pi$ $i\pi-R$ $-R$a desaparecer.

A continuación, por los residuos teorema de la integral sobre la $C$ es igual a

$$2 \pi i \operatorname*{Res}_{z=i\frac{\pi}{2}}f(z) = 2\pi i \frac{e^{i(i\frac{\pi}{2})}}{\sinh \left(i\frac{\pi}{2}\right)} = 2\pi e^{-\frac{\pi}{2}}$$

Entonces la solución de la integral mediante la parametrización de las representaciones del cero partes del contorno:

$$2\pi e^{-\frac{\pi}{2}} = \oint_C f(z)\, dz = \\ \int_{-\infty}^\infty f(z)\, dz - \int_{-\infty}^\infty f (z+i\pi)\, dz = \\ \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{\cosh x}\, dz + \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i(x+i\pi)}}{\cosh x}\, dz = \\ (1+e^{-\pi})\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{\cosh x}$$

Finalmente

$$\int_{-\infty}^\infty f(z) = \frac{2\pi e^{-\frac{\pi}{2}}}{1+e^{-\pi}} = \frac{\pi}{\cosh \left(\frac{\pi}{2}\right)}$$

Dividir esa respuesta por dos para obtener su integral.