La ecuación diferencial $y'=\frac{1-xy}{y-x^2}$

Question

He intentado muchas cosas pero no pude encontrar un método para resolver la ecuación diferencial $$y'=\frac{1-xy}{y-x^2}$$

$$y'=-x+\frac{1-x^3}{y-x^2}$$

$Z=y-x^2$

$$Z'+2x=-x+\frac{1-x^3}{Z}$$

$$Z(Z'+3x)=1-x^3$$

Podría usted por favor me dan idea de cual método puede ser utilizado para tales de primer orden ecuaciones diferenciales? Muchas gracias por los consejos y respuestas

Answer 1

La ecuación de $$zz'=-3xz-x^3+1$$ es Abel ecuación de la segunda clase. Usted puede encontrar aquí algunos solucionable Abel ecuación.

Buena suerte con la búsqueda de la ecuación!

Answer 2

$y'=\dfrac{1-xy}{y-x^2}$

$(y-x^2)y'=1-xy$

Deje $u=y-x^2$ ,

A continuación, $y=u+x^2$

$y'=u'+2x$

$\therefore u(u'+2x)=1-x(u+x^2)$

$uu'+2xu=1-xu-x^3$

$uu'=-3xu-x^3+1$

Tratar de resolver esta ODA por Wolfram Alpha, usted descubrirá que la solución general es implícitamente expresada por $x$$x+\dfrac{x^3-1}{u}$ .

Desde Wolfram Alpha descubrir que la sustitución de $v=x+\dfrac{x^3-1}{u}$ lleva la educación a distancia se convierte en un separables ODE:

Deje $v=x+\dfrac{x^3-1}{u}$ ,

A continuación, $u=\dfrac{x^3-1}{v-x}$

$u'=\dfrac{3x^2(v-x)-(x^3-1)(v'-1)}{(v-x)^2}$

$\therefore\dfrac{x^3-1}{v-x}\dfrac{3x^2(v-x)-(x^3-1)(v'-1)}{(v-x)^2}=-3x\dfrac{x^3-1}{v-x}-x^3+1$

$\dfrac{3x^2(v-x)-(x^3-1)(v'-1)}{(v-x)^2}=-3x-(v-x)$

$3x^2(v-x)-(x^3-1)(v'-1)=-3x(v-x)^2-(v-x)^3$

$(x^3-1)(v'-1)=3x^2(v-x)+3x(v-x)^2+(v-x)^3$

$(x^3-1)v'-x^3+1=3x^2(v-x)+3x(v-x)^2+(v-x)^3$

$(x^3-1)v'=x^3+3x^2(v-x)+3x(v-x)^2+(v-x)^3-1$

$(x^3-1)v'=(x+v-x)^3-1$

$(x^3-1)v'=v^3-1$