Para probar que una sucesión es de Cauchy

Question

Tengo una secuencia: $a_{n}=\sqrt{3+ \sqrt{3 + ... \sqrt { 3} } }$ , se repite $n$-veces.

y tengo que demostrar que es una de Cauchy de la secuencia. Así que hice esto: Como un teorema dice que cada secuencia convergente también es de Cauchy, por lo que he demostrado que está delimitada entre el $\sqrt{3}$ $3$ (con esto no estoy seguro, compruebe por favor si estoy en lo correcto con esto.)Y también he demostrado tat esta secuencia es monótona. (con la inducción he demostrado esto: $a_{n} \leq a_{n+1}$ lo que si es acotada y monótona, por lo tanto es convergente y de Cauchy. Me pregunto si esto ya lo demostró o no? Y también si el límite superior - supremum si usted quiere - es elegido correctamente. Les agradezco a todos la ayuda que recibe.

Answer 1

Sí, las ideas correctas.

Para acotamiento, puede utilizar la inducción:

1. $\sqrt 3<3$, buena.
2. Supongamos $a_n<3$$a_{n+1}=\sqrt{3+a_n}<\sqrt{3+3}=\sqrt6<3$.

Answer 2

Una vez que haya acotamiento, usted también puede mostrar el Cauchy propiedad directamente. Tenga en cuenta que (para no negativo $u,v$)

$|\sqrt{3+u}-\sqrt{3+v}| = \frac{|u-v|}{\sqrt{3+u}+\sqrt{3+v}} \le \frac{|u-v|}{2\sqrt{3}}$.

Así que a partir de $|a_0-a_n|\le 3-\sqrt{3}$, consigue $|a_i-a_j|\le\frac{3-\sqrt{3}}{(2\sqrt{3})^N}$ todos los $i,j\ge N$.

Answer 3

${ a }_{ n+1 }=\sqrt { a_{ n }+3 }$ $\Rightarrow \quad { a^{ 2 } }_{ n+1 }=a_{ n }+3$ como $n\rightarrow \infty$ $\Rightarrow \quad { a^{ 2 } }_{ n+1 }=a_{ n }+3$ $\quad x^{ 2 }=x+3\quad \Rightarrow$ $x^{ 2 }-x-3=0$ $and\quad it\quad$ convergents a la $x=\frac { 1+\sqrt { 13 } }{ 2 }$