Nilpotent Pseudoinverse

Question

Estoy tratando de escribir las soluciones de seguridad para mi álgebra lineal estudiantes y actualmente estoy atascado en la siguiente prueba:

Deje $A$ ser una matriz cuadrada tal que $A^2 = O$. Demostrar que $(A^\dagger)^2 = O$.

En primer lugar, los estudiantes no conocen la Penrose condiciones de la pseudoinverse. En particular, se tiene que para un $m\times n$ matriz $A$, el pseudoinverse $A^\dagger$ se da en términos de la descomposición de valor singular de a $A$. Es decir, si $$A = U\Sigma V^*$$ for unitary matrices $U$ and $V$, then $$A^\dagger = V\Sigma^\dagger U^*$$ donde $\Sigma^\dagger$ $n\times m$ matriz con $1/\sigma_i$ a lo largo de la diagonal (para $\sigma_i$ $i^{\text{th}}$ cero de valor singular de a $A$) y cero en otro lugar.

Mi instinto me dice que la descomposición polar de una matriz cuadrada

$$A = WP$$ para algunos únicas matrices $W$ (unitario) y $P$ (positiva semi-definido)

será importante aquí. También se han demostrado en un problema previo que

$$(UA)^\dagger = A^\dagger U^*$$ $$(AU)^\dagger = U^* A^\dagger$$ para cualquier $A$ y cualquier $U$ unitario

que creo que debería venir a jugar aquí. Cualquier ayuda para llegar a la final de esta prueba sería muy apreciada. Me siento como que estoy casi allí, simplemente no puedo ver ahora mismo.

Answer 1

(Escribo $A^+$$A^\dagger$.) Creo que es más fácil de demostrar como sigue. Supongamos $A=U(S\oplus0)V^\ast$ es una enfermedad vesicular porcina, donde $S$ es invertible. Partición de $V^\ast U$ $\pmatrix{X&Y\\ Z&W}$ donde $X$ tiene el mismo tamaño como $S$. Entonces $$\begin{align*} A^2&=U\pmatrix{S\\ &0}\pmatrix{X&Y\\ Z&W}\pmatrix{S\\ &0}V^\ast =U\pmatrix{SXS&0\\ 0&0}V^\ast,\\ (A^+)^2&=V\pmatrix{S^{-1}\\ &0}\pmatrix{X^\ast&Y^\ast\\ Z^\ast&W^\ast}\pmatrix{S^{-1}\\ &0}U^\ast =V\pmatrix{S^{-1}X^\ast S^{-1}&0\\ 0&0}U^\ast. \end{align*}$$ Por lo tanto $A^2=0$ implica que el $X=0$ y a su vez $(A^+)^2=0$.