Hatcher Ch.0 (P18) #5 Inclusión Mapa es Nullhomotopic

Question

Pregunta:

Demostrar que si un espacio de $X$ deformación se retrae a un punto de $x ∈ X$, entonces para cada vecindario $U$ $x$ en $X$ $\exists$ un vecindario $V ⊂ U$ $x$ de manera tal que la inclusión del mapa de $V \rightarrow U$ es nullhomotopic.

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Alguien podría poner los argumentos principales y las conexiones necesarias para esto? No estoy muy seguro de qué hacer.

Esta pregunta se ha hecho antes, ver aquí.

Sin embargo, no me voy a entenderlo, si es que es correcto. También se refiere a un tubo de lema, que me gustaría evitar, por el momento.

Gracias.

Answer 1

Creo que el uso de tubo lema es una muy directa y simple manera de hacer esto. La idea es que la deformación se retracte de $\phi : X\times I \to X$, con $\phi(y,0)=y$, $\phi(y,1)=x$ y $\phi(x,t)=x$ (para todos los $y \in X$, $t \in I$), casi te da lo que quieres, que es un homotopy $\psi : V\times I \to U$ $\psi(y,0)=y$ $\psi(y,1)= x$ (para todos los $y \in V$), sólo por la restricción de $\phi$ $V \times I$. El único problema es que $V$ debe ser elegido suficientemente pequeño como para que la imagen de $V \times I$ está contenido en $U$. Y este problema se resuelve fácilmente por el tubo de lema, ya que la imagen de $\{x\} \times I$ se encuentra en $U$.

¿Hay alguna razón usted desea evitar que el tubo lema? La prueba no es difícil, por cierto.

Answer 2

Usted puede ver una versión sin el Tubo Lema aquí que he publicado.

La idea es darse cuenta de que toda la deformación de retracción, el DR, debe, finalmente, la igualdad de un subconjunto de a $U$. Pero es más complicado ya que no lo que la deformación de retracción está haciendo cuando no estamos mirando.

Toda la RD puede retroceder a un punto en el primer 1/100 de un segundo y luego se quedan allí. O el DR puede retroceder a un punto y, a continuación, expanda y luego retractarse de nuevo a un punto mas de 100 veces, mientras lo hace continuamente.

Por lo $b$ es la primera vez que el DR. va a un punto, y $a$ es de algún tiempo antes, cuando el DR debe entrar a $U$ para el último momento. (Si el DR hojas de $U$ debe volver en algún momento, así que sólo mayús $a$ más adelante.)

Luego podemos volver a parametrizar la república dominicana para el nuevo intervalo de tiempo, que es un homotopy de la inclusión de una función constante.