Si $\frac{dy}{dt}dt$ no cancelar, entonces ¿cómo se llama?

Question

He a $y$ es una función de $t$.

He llegado a una situación aquí donde tengo que evaluar

$$\displaystyle \int_0^b{\frac{dy}{dt}dt}$$

Ahora claramente $y$ tiene dependencia de la $t$, de lo contrario $\displaystyle \frac{dy}{dt}$ debe ser de 0.

Así que ahora escribo

$$\displaystyle \int_{y(0)}^{y(b)}{dy} = y \rvert_{y(0)}^{y(b)} = y(b) - y(0)$$

Sé que el dt no cancelar, pero ¿cómo se llama esto, entonces? Sólo un "cambio de variables"? ¿Cómo podemos justificar donde $dt$ fue?

Answer 1

Esto está estrechamente relacionado con la reciente cuestión preguntando si $\frac{dy}{dt}$ era una fracción o no, como se nota.

Como en esa pregunta, cuando Leibniz llegó por primera vez con la notación para las integrales de ($\int$ signo fue realmente un capital $S$, de pie para "summa", suma), y escribió $S_a^b f(x)\,dx$, estaba realmente pensando en esto como una suma de productos, con $dx$ lo que representa un "cambio infinitesimal en $x$." Estaba pensando en dividir el intervalo de $[a,b]$ en un número infinito de "infinitesimalmente delgada" rectángulos, cada uno de altura $f(x_i)$ (por lo $x_i$ pasó a ser en) y, a continuación, la suma de todas las áreas de estos infinitesimalmente delgada rectángulos. Un rectángulo habría área de $f(x_i)dx$ (altura de la base), y añadiendo la llevaría a la zona.

Si usted toma este punto de vista (ignorando por un momento el hecho de que infintesimals no puede existir en la usual de los números reales), entonces el Primer Teorema Fundamental del Cálculo de la siguiente manera por el "simple" de la aritmética con una suma telescópica (asumiendo $\frac{dy}{dt}$ es continua, por ejemplo). Usted tiene que la integral $$\int_a^b\frac{dy}{dt}\,dt$$ es realmente la suma del cociente de cambios infinitesimales en $y$, dividido por cambios infinitesimales en $t$, multiplicado por el cambio infinitesimal en $t$. Si usted piensa de $[a,b]$ como se divide en infinitesimalmente delgada subintervalos $$a=t_0\lt t_0+dt\lt t_0+2dt\lt\cdots \lt b$$ a continuación,$dy = y(t_0+(k+1)dt) - y(t_0+kdt)$, por lo que la integral se convierte en la suma telescópica $$\sum \Bigl(y(t_0+(k+1)dt) - y(t_0+kdt)\Bigr) = y(b)-y(a)$$ porque todos los "términos centrales" cancelar. Así que aquí, $dt$ realmente no cancelar con el$dt$$\frac{dy}{dt}$, la suma es telescópica, y la respuesta final sale exactamente como desee.

Pero, como con la derivada, hay una legión de problemas lógicos con esta forma de pensar, no es el menos importante de los cuales es que infinitesimals no puede existir realmente en la configuración usual de los números reales. Para el cálculo tuvo que ser reescrito. Hubo propuestas por parte de Cauchy sobre cómo definir las integrales, y, finalmente, se había Riemann, de manera de definir las integrales de los límites. Así que cuando escribimos $\int_a^b f(t)\,dt$ ya no significa una suma de productos de la forma $f(t)\,dt$, sino que nos referimos a un límite de ciertas sumas de Riemann. En este punto de vista, el "$dt$" es más bien como el símbolo para el equilibrio de la $\int_a^b$. Creo que de la integral de la señal a la izquierda como un "paréntesis", y el $dt$ en la derecha como el "paréntesis" que cierra la expresión.

Así que, como $\frac{df}{dt}$ no significa, literalmente, "el cociente de un cambio infinitesimal en $f$ por un cambio infinitesimal en $t$" sino que es "el límite de $h$$0$$(f(t+h)-f(t))/h$, lo $\displaystyle \int_a^b f(t)\,dt$ no significa, literalmente, "la suma de infinitesimalmente delgada rectángulos de altura $f(t)$ $a$ $b$"sino que significa "el límite de las sumas de Riemann de $f(t)$ sobre las particiones de $[a,b]$ como la malla va a $0$."

Pero una de las grandes ventajas de la notación de Leibniz es que es muy sugerente. Así que usted consigue el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, que se ve muy natural en la notación de Leibniz: $$\int _a^b \frac{df}{dt}\;dt = f(b) - f(a),$$ dar la sugerencia de que son "la cancelación de la $dt$", aunque realmente no estás haciendo eso. Pero desde infinitesimals no realmente existe, esto no es literalmente cierto. Pero bueno notación es algo que no se puede dejar de lado cuando se trata a lo largo, y la notación de Leibnitz, siendo sugerente, es muy buena la notación, por lo que mantenemos porque ayuda con los cálculos.

Cuando hice el "$dt$" ir? Así, uno podría preguntarse donde el "$)$" va en el siguiente cálculo: $$2\times(3+5) = 16.$$ Así que... ¿de dónde salió el "$)$" ir (o donde hizo "$\times$", "$+$," y "$($" todo va) ? Mismo lugar como el "$dt$" fue: ya que es parte de la notación, "desaparece" cuando hayamos terminado con la evaluación.

Nota. Como con los derivados, con Análisis no estándar se puede escribir de cálculo, de modo que el $dt$ en la integral representa realmente una cantidad que se multiplica por y, a continuación, añadir, de manera que en el análisis no estándar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo en realidad es sólo la observación de que, si se divide por $dx$ y multiplicar por $dx$, luego los dos se anulan.

Answer 2

Tiene más sentido mirar en términos de parciales

$$\int_{a}^{b}\dfrac{\partial y}{\partial x}\,{\rm d}x={\Delta y}_{{x\rightarrow a\ldots b}}$$

con ${\Delta y}$, lo que indica que el cambio en $y$ $x$ varía de $a$$b$. Si hay más variables que intervienen ( $y(x,z,w)$ ), a continuación, $z$ $w$ se supone constante durante la variación en $x$.

Es un tipo de la inversa de la regla de la cadena.