Todo semigrupo inverso es un grupo

Question

La página de Wikipedia sobre semigrupos inversos los define así:

En matemáticas, un semigrupo inverso (ocasionalmente llamado semigrupo de inversión) $S$ es un semigrupo en el que cada elemento $x$ en $S$ tiene un único inverso $y$ en $S$ en el sentido de que $x = xyx$ y $y = yxy$ .

Hay una pregunta en este sitio ( Un semigrupo $X$ es un grupo si para cada $g\in X$ , $\exists! x\in X$ tal que $gxg = g$ ) cuyo respuesta es "Un semigrupo no vacío $S$ es un grupo si para cada $x\in S$ hay un único $y\in S$ tal que $xyx=x$ ."

Por tanto, se deduce que todo semigrupo inverso no vacío es un grupo. Parece extraño que este hecho no aparezca en la Wikipedia, y que parezca existir alguna literatura sobre semigrupos inversos. ¿No he entendido bien las definiciones?

Answer 1

En efecto, hay muchos monoides inversos que no son grupos. Basta con considerar, por ejemplo, el conjunto de todas las funciones inyectivas parciales de un conjunto $E$ en sí mismo, bajo la composición.

Un elemento $x$ de un semigrupo se llama inverso débil de $y$ si $xyx = x$ . Se denomina inversa de $y$ si $xyx = x$ y $yxy = x$ es decir, si $x$ es un inverso débil de $y$ y $y$ es un inverso débil de $x$ .

El resultado que menciona afirma que

Un semigrupo no vacío es un grupo si y sólo si cada elemento es un débil inverso de exactamente un elemento.

Editar, tras el comentario de Tristan Brice .

Como observó Tristan Brice, el siguiente resultado dual no se sostiene:

Un semigrupo no vacío es un grupo si y sólo si cada elemento tiene exactamente un inverso débil.

Sólo se mantiene un resultado más débil (y más simple)

Un monoide es un grupo si y sólo si cada elemento tiene exactamente un inverso débil.

Dejemos que $M$ sea el monoide y que $s$ sea un elemento de $M$ . Sea $\bar s$ sea la única inversa débil de $s$ . Entonces $\bar s s \bar s = \bar s$ y por lo tanto $s\bar s$ y $\bar ss$ son idempotentes. Afirmo que $1$ es el único idempotente de $M$ contiene un único idempotente. En efecto, dejemos que $e$ sea un idempotente. Como $1e1 = eee = e$ , $e$ y $1$ son ambas inversas débiles de $e$ y por lo tanto $e = 1$ . Volviendo a $s$ obtenemos $s\bar s = \bar ss = 1$ y por lo tanto $S$ es un grupo.

Answer 2

Consideremos el ejemplo canónico de semigrupo inverso que J.-E. Pin mencionó en su respuesta, el semigrupo de biyecciones parciales sobre un conjunto. Para concretar, tomemos nuestro conjunto como $[3]=\{1,2,3\}$ y llamamos a nuestro semigrupo resultante $S$ .

Considere el elemento $f:\{1,2\}\rightarrow\{2,3\}$ definido por $f(1)=2$ y $f(2)=3$ . Entonces $f$ tiene un único inverso $f^*:\{2,3\}\rightarrow\{1,3\}$ definido por $f^*(2)=1$ y $f^*(3)=2$ . Puede comprobar fácilmente que $$f\circ f^*\circ f = f,\ \ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ f^*\circ f \circ f^* = f^*,$$ y efectivamente, se puede comprobar que $f^*$ es el único elemento de $S$ que satisfacen estas dos condiciones. Pero hay otras que satisfacen cada una de las dos condiciones anteriores por separado. Por ejemplo, $f^{**}:[3]\rightarrow [3]$ definido por $f^{**}(1)=3$ , $f^{**}(2)=1$ y $f^{**}(3)=2$ . Entonces también tenemos $$f\circ f^{**} \circ f = f,$$ pero ya no tenemos $$f^{**} \circ f \circ f^{**} = f^{**}.$$ De hecho, $f^{**} \circ f \circ f^{**}$ es la restricción de $f^{**}$ a $\{2,3\}$ .

Así que hay una clara diferencia entre:

i. Un semigrupo $S$ tal que para cada $x\in S$ existe un único $y\in S$ tal que $xyx=x$ .

ii. Un semigrupo $S$ tal que para cada $x\in S$ existe un único $y\in S$ tal que ambos $xyx=x$ y $yxy=y$ .

Y la condición ii es estrictamente más débil que la condición i . Se puede demostrar que cualquier semigrupo que satisfaga la condición i es un grupo completo. No se puede hacer lo mismo con la condición ii que define los semigrupos inversos. El semigrupo de biyecciones parciales es un ejemplo explícito de ello.