Si $p: B \rightarrow C$ es de un número finito de cubrir el espacio con el recubrimiento de grupo $G$. Por qué (rigurosamente) $H^{*}(B)^{W} \simeq H^{*}(C)$
Respuesta
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En general, $G$ es un grupo que actúa continuamente en un espacio de $X$ $M$ es un grupo abelian, hay una secuencia espectral que va desde $E_2=H^\bullet(G,H^\bullet(B,M))$$H^\bullet(B/G,M)$; aquí $H^\bullet(G,\mathord-)$ es el grupo cohomologgy del grupo discreto $G$. Este fue construido por Grothendieck en su famoso Tohôku de papel, por ejemplo. (Los espacios tienen que ser lo suficientemente bueno para su gavilla cohomology para coincidir con lo que cohomology desea; paracompact es suficiente, y que no es exactamente un draconiano hipótesis :D )
Si $p:B\to C$ es una cubierta con el grupo $G$,$B/G=C$. Si morevoer el grupo finito y, por ejemplo, $M=\mathbb Q$ (o cualquier abelian grupo en el que la multiplicación por el orden de $G$ es un isomorfismo), a continuación, $H^\bullet(B,M)$ es también un grupo abelian con esa propiedad, y $H^p(G,H^\bullet(B,M))=0$ si $p>0$. Por lo tanto, el espectro de la secuencia se colapsa en $E_2$ y tenemos un isomorfismo $H^0(G,H^\bullet(B,M))\cong H^\bullet(C,M)$. Por último, desde el $H^0(G,\mathord-)$ es canónicamente isomorfo a $(\mathord-)^G$, tenemos el isomorfismo.
Toda esta tecnología, sin embargo, no es realmente necesario. Supongamos, por ejemplo, los espacios en cuestión son múltiples y se calcula cohomology el uso de de Rham. A continuación, el grupo $G$ actúa sobre el complejo de de Rham $\Omega^\bullet(B)$, y se puede considerar su fijo subcomplejo, $\Omega^\bullet(B)^G$. Es muy fácil demostrar que $\Omega^\bullet(B)^G$ es en el hecho de isomorfo al complejo de de Rham $\Omega^\bullet(C)$ del cociente. Por otro lado, también es fácil demostrar que la toma de invariantes y computación cohomology de estos espacios vectoriales conmutar (es por esto que queremos que el grupo finito y real de espacios vectoriales), por lo que el $H(\Omega^\bullet(B)^G)\cong H(\Omega^\bullet(B))^G$. La misma cosa va a trabajar el ingenio del complejo, que calcula singular cohomology con coeficientes en $\mathbb Q$.
