La generalización de los débiles derivados

Question

Me preguntaba sobre el débil, derivado en el tiempo. Decimos que f tiene un débil derivada f' si $$\int_0^T f\phi' = -\int_0^T f'\phi$$ para todos los $\phi \in C_0^\infty(0,T)$.

Esta definición utiliza la $L^2$ producto interior. Puedo generalizar esto a un cierto espacio de Hilbert $H$? Existe una notación de la derivada? Sería algo así como $$(f, \phi')_H = -(f', \phi)_H$$ pero, ¿cómo definir $\phi'$? ¿Qué es el espacio que se encuentra en? Porque no tiene sentido considerar un derivado de elemento abstracto espacio de Hilbert. Cualquier referencia a este área es de agradecer.

Answer 1

[Masiva modificaciones para corregir el resultado de una anterior lo-en-tierra-se-me-pensamiento momento]

Ilya comentario es correcto. En ese caso, entonces, en realidad, hay dos cosas aquí:

1. La operación $\phi \mapsto \phi'$ define un densamente definido operador $D$ $H = L^2(0,T)$ con dominio denso $\operatorname{Dom}(D) = C_0^\infty(0,T)$. Por ello, se admite que, a priori, un adjunto, es decir, un operador $D^\ast$ definido en algunos subespacio de $H$ tal que $\left\langle f,Dg \right\rangle = \left\langle D^\ast f,g\right\rangle$ todos los $f \in \operatorname{Dom}(D^\ast)$$g \in \operatorname{Dom}(D)$.
2. Sólo pasa a ser el caso, sin embargo, que para este operador $D$, $\left\langle f,Dg \right\rangle = \left\langle -D f,g\right\rangle$ para $f,g \in \operatorname{Dom}(D)$, por lo que el $\operatorname{Dom}(D) \subseteq \operatorname{Dom}(D^\ast)$ $D^\ast$ la restricción de a$-D$$\operatorname{Dom}(D)$. De hecho, usted tiene que $-D^\ast$ es sesgar-adjoint, y, en particular, es el cierre de $D$.

Por lo tanto, desde una perspectiva abstracta, porque el hecho de que $D$ es sesgar-simétrica en su dominio, $H^{1}(0,T)$ es sólo (como un espacio vectorial) $\operatorname{Dom}(D^\ast)$, y la debilidad de la diferenciación es la extensión de $D$$C^\infty_0(0,T)$$H^1(0,T)$$-D^\ast$.

Espero que no se han hecho demasiado de un lío de cosas [esta vez]!