Derivado de functors - homotopical vs homológica enfoque

Question

En un primer curso de álgebra homológica, el profesor presentó derivados de functors como universales $\delta$-functors, cuya característica universal es el empalme corto exacta de las secuencias en el tiempo.

Lo que ocurre es que he leído acerca de la elegante homotopical enfoque derivado de functors - como Kan extensiones a lo largo de la localización (en el homotopy categoría), que ofrecen la mejor homotopical (conservando débil equivalencias) la aproximación a un functor. Esto es en el marco de homotopical categorías - categorías con una clase de flechas de la satisfacción de las 2-6 de la propiedad.

Dos cosas me incomodan especialmente:

1. ¿Cuál es la homotopical importancia de empalme corto exacta secuencias a largo exacto de las secuencias? Sería razonable decir la equivalencia de las dos definiciones en abelian categorías significa preservar débil equivalencias y empalme son puntos de vista diferentes de la misma cosa?
2. Donde puedo encontrar pruebas rigurosas de que en el abelian configuración universal, $\delta$- functors son Kan extensiones a lo largo de localizaciones? ¿Cómo puedo rigurosamente formular la equivalencia de los conceptos de empalme y la preservación de la débil equivalencias?

Actualización: he crossposted la parte que no resuelven Qiaochu de Yuanes, la respuesta a MO. Desde que estoy preguntando en realidad dos preguntas, me di cuenta de esto tiene sentido.

Answer 1

El homotopical significado de largo exacto de secuencias tiene que ver con fibra de secuencias y su categórica duales, cofiber secuencias. Esta es una historia muy larga y no sé donde se dice bien y para los estudiantes, pero el ejemplo prototípico de los espacios es la siguiente. Si $f : E \to B$ es un mapa de los espacios de $e \in E, b \in B$ son basepoints tal que $f(e) = b$, entonces la inducida por la fibra de la secuencia se ve como

$$\dots \to \Omega F \to \Omega E \to \Omega B \to F \to E \to B$$

donde $\Omega$ denota la base de bucle espacio y $F$ es el homotopy de fibra de $f$$b$. Tomando $\pi_0$ de esta fibra secuencia da el largo de la secuencia exacta en homotopy. Doblemente, teniendo cofiber las secuencias de espacios da el tiempo exacto de secuencias homología y cohomology.

Para los complejos de la cadena de saber la homotopy cofiber como la asignación de cono, y en varias ocasiones tomando la asignación de los conos es una manera para obtener el largo de la secuencia exacta en la homología de venir de una corta secuencia exacta de los complejos de la cadena.

En general, teniendo fibras y cofibers son dos de los más simples y los más importantes ejemplos de la homotopy límites y colimits. A partir de un innecesariamente moderno punto de vista, álgebra homológica es un caso especial de estudio de estable $\infty$-categorías, y todos los de la "razonabilidad" de los functors entre estables $\infty$-categorías son exactas: preservar finito homotopy límites y colimits, y, en particular preservar las fibras y cofibers. El proceso de toma de derivados de functors es el proceso de averiguar cómo activar un functor entre, digamos, abelian categorías en un functor entre estables $\infty$-categorías, y girando a corto exacta de las secuencias en el largo exacto de secuencias (que es una estructura) es un reflejo de la más alta categoría fenómeno de la preservación de las fibras y cofibers (que es una propiedad).