Un cíclica subsemigroup de un semigroup S que es un grupo

Question

Me encontré con este problema, mientras que la lectura de algunas conferencias acerca de semigroups aquí Notas de la Conferencia en Semigroups por Tero de Harju. Página de $10$. Le puso el nombre de un ejercicio trivial.

Deje $r$ ser el índice y el $p$ el período de un elemento $x\in S,$ un semigroup. Entonces

$$K_{x}=\{ {x^{r},x^{r+1},...x^{r+p-1} } \}$$

es un subgrupo de S, yo.e un subsemigroup que es un grupo.

Sé que tengo que demostrar que

1. $K_{x}$ es cerrado bajo la operación en S.
2. $K_{x}$ tiene identidad.
3. Para cualquier elemento de $K_{x}$ no existe su inversa para que su producto también es en $K_{x}$.

Por favor, necesito una pista para que me ayude a resolver el problema anterior.

Answer 1

Si entiendo correctamente la pregunta tenemos:

$$r'=\min \{b; x^a=x^b\text{ for some }b\ne a\}$$

El número de $r$ es el único número $r<r'$ cumplimiento $x^r=x^{r'}$. El número de $p$ está definido por $p=r'-r$.

Primero vamos a mostrar que, para $a,b\ge r$ el siguiente tiene $$x^a=x^b \Leftrightarrow a\equiv b \pmod p$$

Prueba. Desde $x^{r+p}=x^r$, $x^{a+kp}=x^a$ para cualquier $a\ge r$, $k\ge 0$.

Para mostrar la implicación inversa, basta con reescribir $a=r+q_1p+r_1$ $b=r+q_2p+r_2$ $0\le r_1,r_2<p$ (por división). Llegamos $x^{r+r_1}=x^{r+r_2}$ y la definición de $p$, $r'$ y $r$ implica $r_1=r_2$, lo que significa que $a$ $b$ son congruentes.

Mostrando la closedness de $K_x$ con la condición anterior, debe ser fácil. Esto también muestra que $K_x$ es un cancellative. Cada finito cancellative semigroup es un grupo.

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Usted puede encontrar una prueba de que el hecho de que preguntaban por ejemplo, en el libro Conmutativa semigroup anillos Por Robert W. Gilmer como Teorema 2.1. Encontré este libro por la búsqueda de semigroup elemento período. (Lo que yo hice porque la noción de período de un elemento era nuevo para mí.)