¿Cómo puedo probar por inducción que, por $n≥1, \sum_{r=1}^n \frac{1}{r(r+1)}=\frac{n}{n+1}$?

Question

Hola me puedes ayudar a resolver este: Me han demostrado que $p(1)$ es verdad y ahora estoy suponiendo que $p(k)$ es cierto. Yo no sé cómo mostrar $p(k+1)$ para ambos lados?

Answer 1

Sugerencia: $$\sum_{r=1}^{k+1}\frac{1}{r(r+1)}=\sum_{r=1}^{k}\frac{1}{r(r+1)}+\frac{1}{(k+1)((k+1)+1)}.$$ Ahora uso el inductivo hipótesis y ver si se consigue en cualquier parte.

Answer 2

Si quieres hacerlo por un convencional "a ciegas" de la inducción, supongamos que para un determinado $k$ hemos $$\sum_1^k \frac{1}{r(r+1)}=\frac{k}{k+1}.\tag{$1$}$$ Queremos demostrar que $$\sum_1^{k+1} \frac{1}{r(r+1)}=\frac{k+1}{k+2}.\tag{$2$}$$ Tenga en cuenta que el lado izquierdo de $(2)$ es el lado izquierdo de $(1)$,$\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$.

Así que queremos demostrar que $$\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}.\tag{$3$}$$ Parece razonable para manipular el lado izquierdo de $(3)$ y ver si obtenemos el lado derecho. Un común manipulación es llevar la expresión para el común denominador $(k+1)(k+2)$. Tenemos $$\frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}.$$ Esto es igual a $\dfrac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}$.

Pero el numerador es igual a $(k+1)^2$. Cancelar una $k+1$.

Comentario: El álgebra, al final, es más limpio, y más cerca de el informal "telescópica" argumento, si se observa que el $\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}$. Así $$\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+ \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}=1-\frac{1}{k+2}=\frac{k+1}{k+2}.$$

Answer 3

$$\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{r(r+1)}=\frac{n}{n+1}$$ para $n=1$ tenemos $\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{1+1}$ supongamos que $$\sum_{r=1}^{k}\frac{1}{r(r+1)}=\frac{k}{k+1}$$ $$\sum_{r=1}^{k+1}\frac{1}{r(r+1)}=\sum_{r=1}^{k}\frac{1}{r(r+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=$$ $$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=$$ $$=\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}=\frac{(k+1)}{(k+1)+1}$$

Answer 4

SUGERENCIA:

$$\frac1{r(r+1)}=\frac1r-\frac1{r+1}$$

y

$$\frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}\;.$$