Demostrar la no existencia de límite: $f(x,y) = \frac{xy\sin(\frac{x}{y})}{x^2 + |y|^3}$

Question

Necesito demostrar que $f(x,y) = \frac{xy^2\sin(\frac{x}{y})}{x^2 + |y|^3}$ no tienden a $0$ al $(x,y)$ enfoques $(0,0)$.

Para hacerlo, tendría que encontrar alguna dirección $\alpha$ tal que $f(\alpha(t))$ enfoques para algún valor $L \neq 0$ $(x,y)$ se acerca al origen.

El problema es que me parece que no puede encontrar esa dirección. ¿Qué podía hacer?

Encontré $$f(x^\frac{1}{2}, x^\frac{1}{3}) = \frac{x^\frac{7}{6} \sin(x^\frac{-1}{6})}{2x} = \frac{x^\frac{1}{6} \sin(x^\frac{-1}{6})}{2} = \frac{\sin(x^\frac{-1}{6})}{2 x^\frac{-1}{6}} \rightarrow \frac{1}{2}$$

Es esto correcto?

Answer 1

Utilizando el camino de $(kt,t)$ $t\to 0$ y asumiendo $k>0$

$$L=\lim_{t \to 0}\frac{kt.t \sin k}{k^2t^2+|t|^3}$$

$$L=\lim_{t \to 0}\frac{k\sin k}{k^2+\frac{|t|^3}{t^2}}$$

Si te acercas a ella de positivo o negativo, la respuesta será

$$L=\frac{\sin k}{k}$$

De que depende el camino que es $k$.

Lo que muestra que no hay un único valor de $L$ por lo tanto el límite no existe.

Tenga en cuenta que su límite es correcto, pero sólo mostrando que el límite a través de una ruta fija existen y $L\neq 0$ no significa que no existe o no. Usted tiene que demostrar que es independiente de la ruta de acceso también.

Answer 2

Utiliza coordenadas polares $x=r\cos\phi, y=r\sin\phi$ y calcular el límite de $r \rightarrow 0$. El resultado es \begin{align} \lim_{r\rightarrow 0} \frac{r^2\cos\phi\sin\phi \cdot \sin(\cot\phi)}{r^2 \cos^2\phi + |r\sin\phi|^3} &= \lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos\phi\sin\phi \cdot \sin(\cot\phi)}{\cos^2\phi + r|\sin^3\phi|} \\ &= \frac{\cos\phi\sin\phi \cdot \sin(\cot\phi)}{\cos^2\phi} \\ &= \tan\phi \cdot \sin(\cot\phi) \end{align}

que es una función no constante de $\phi$, con lo que su límite no existe.

EDIT: La respuesta de Mann es más fácil y más sencillo, aunque.