Encontrar todos los surjective funciones de la satisfacción de este

Question

Tengo que encontrar todos los surjective funciones de$R^+$$R^+$, los cuales satisfacen $$f(f(a)+b)+f(f(b)+a)=f(2a+f(2b))$$

¿Esta inspirar a cualquier persona?

Answer 1

Vamos a ver inyectiva soluciones. Entonces, desde LHS es invariante bajo intercambiando el papel de $a$$b$, por lo que ha de RHS. Por inyectividad (y la sustitución de a y b con la mitad de ellos), se obtiene una $a+f(b)=b+f(a)$ por cada $a$$b$. Si $a \neq b$ obtener $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=1$, lo que significa que $f$ es diferenciable y $f(x)=x+c,$ $c$ constante. Surjectivity fuerzas de $c=0$.

Otras soluciones no sería inyectiva. Todavía estoy pensando. Creo que sería cómodo si usted también agregar 0 a dominio y codominio. En este caso, $f^2(0)=0$ donde $f^2(x)=f(f(x))$. Supongo que más propiedades puede ser mostrado mucho más fácil para $f^2$ $f,$ inicialmente. A continuación, puede obtener las propiedades de $f$ con argumentos como $f(x)=f(f(y))$ algunos $y$. Esperamos que te sea útil.

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Si usted está interesado, y si puede ser de ayuda, me puede escribir la prueba de que $f$ resuelve la ecuación anterior para cada $x,y>0$ fib $F(x,y)=f(x+f(y))$ soluciona $$F(x,y)=F(y,x), \, F(2x,2y)=2F(x,y) \, \forall x,y>0$$ and $f$ is surjective iff $F$ es. Tenga en cuenta que en ese caso $\lim F(\frac{x}{2^n},\frac{y}{2^n}) = 0 \, \forall x,y>0,$ pero F no tiene límite existe en el origen.