Dividir un googolplex en dos números con ningún factor primo de menos de 100

Question

Muy probablemente, de un googolplex no se Goldbached en 2 seguramente números primos en mi vida. Pero parece posible hacer una división que puede evitar los pequeños números primos. Las primeras 24 impares primos tener un producto de $k=1152783981972759212376551073665878035$, y es fácil calcular que un googolplex mod $k$$x =929084311939231970567712621104570410$, que es primo cuando 509 se resta. No estoy seguro de cuáles son los próximos pasos serían.

Puede dividir un googolplex en dos números impares donde ni es divisible por cualquier extraño primer 97 o bajo? Si es así, a qué altura se puede empujar que antes de que empiece a ser computacionalmente difícil?

Answer 1

Definiciones:

• googolplex: $g = 10^{10^{100}}$;
  
• $k$-número: un número entero positivo cuyos factores primos son todos mayores o iguales a $k$ (véase el número aproximado);
  
• primorial $p_n\#$: $\quad p_n\# = \prod\limits_{k=1}^n p_k$, donde $p_k$ $k$- ésimo número primo (ver Primorial).

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Supongamos que queremos escribir $$g = a+b,\tag{1}$$ donde $a,b$ $20$- áspero números.

Considerar todos los restos de $g (\bmod p_k)$ donde $p_k\le 20$.
Y elegir restos de $a$$b$, de tal manera que

• $a,b \not \equiv 0 (\bmod p_k)$;
• $a+b\equiv g (\bmod p_k)$.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p_k & g (\bmod p_k) & a (\bmod p_k) & b (\bmod p_k) \\ \hline 2 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \\ 5 & 0 & 1 & 4 \\ 7 & 4 & 1 & 3 \\ 11 & 1 & 2 & 10 \\ 13 & 3 & 1 & 2 \\ 17 & 1 & 2 & 16 \\ 19 & 9 & 1 & 8 \\ \hline \end{array} Tenga en cuenta que hay muchos casos de $a,b$ restante; aquí está uno de ellos.

Entonces (para reconstruir $a$ a partir de sus restos) aplicando el teorema del resto Chino, uno puede entrar

ChineseRemainder[{1,2,1,1,2,1,2,1},{2,3,5,7,11,13,17,19}]

en Wolfram Alpha y conseguir que

$$a \equiv 8835191 (\bmod 19\#);\tag {2}$$

and

ChineseRemainder[{1,2,4,3,10,2,16,8},{2,3,5,7,11,13,17,19}]

gives us

$$b \equiv 1054679 (\bmod 19\#),\tag{3}$$

donde $19\# = p_8\# = 2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 = 9699690$.

De modo que podemos elegir $a = 8835191$, $b = g-a$.

O $a = 9699690 k + 8835191$ donde $k$ es apropiado entero no negativo número.

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Para escribir googolplex en la forma $(1)$ (al menos uno de los ejemplos), donde $a,b$ $100$- áspero, ampliamos la tabla anterior para el formulario: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p_k & g (\bmod p_k) & a (\bmod p_k) & b (\bmod p_k) \\ \hline 2 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \\ 5 & 0 & 1 & 4 \\ 7 & 4 & 1 & 3 \\ 11 & 1 & 2 & 10 \\ 13 & 3 & 1 & 2 \\ 17 & 1 & 2 & 16 \\ 19 & 9 & 1 & 8 \\ 23 & 13 & 1 & 12 \\ 29 & 24 & 1 & 23 \\ 31 & 5 & 1 & 4 \\ 37 & 10 & 1 & 9 \\ 41 & 1 & 2 & 40 \\ 43 & 24 & 1 & 23 \\ 47 & 9 & 1 & 8 \\ 53 & 46 & 1 & 45 \\ 59 & 48 & 1 & 47 \\ 61 & 47 & 1 & 46 \\ 67 & 10 & 1 & 9 \\ 71 & 45 & 1 & 44 \\ 73 & 1 & 2 & 72 \\ 79 & 52 & 1 & 51 \\ 83 & 10 & 1 & 9 \\ 89 & 16 & 1 & 15 \\ 97 & 35 & 1 & 34 \\ \hline \end{array}

Entonces, aplicando

 ChineseRemainder[
    {1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1},
    {2, 3, 5, 7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}]

tenemos $$ un \equiv 1\: 744\: 949\: 340\: 521\: 974\: 476\: 409\: 807\: 187\: 663\: 679\: 281 (\bmod 97\#), $$ donde $$97\# = p_{25}\# = 2\: 305\: 567\: 963\: 945\: 518\: 424\: 753\: 102\: 147\: 331\: 756\: 070.$$